从学校乘汽车到火车站的途中有4个十字路口,假设在各个十字路口遇到红灯的事-|||-件是相互独立的,并且概率都是0.4,设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布-|||-律和分布函数.

步骤 1：确定随机变量X的分布类型
根据题意，随机变量X表示在4个十字路口遇到红灯的次数，且每个十字路口遇到红灯的概率为0.4，且各事件相互独立。因此，X服从二项分布，记为$X\sim B(4,0.4)$。

步骤 2：计算随机变量X的分布律
二项分布的分布律公式为$P(X=i)=\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}$，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率，i为成功次数。将n=4，p=0.4代入公式，计算得到X的分布律。
- 当i=0时，$P(X=0)=\binom{4}{0}0.4^0(1-0.4)^{4-0}=0.1296$
- 当i=1时，$P(X=1)=\binom{4}{1}0.4^1(1-0.4)^{4-1}=0.3456$
- 当i=2时，$P(X=2)=\binom{4}{2}0.4^2(1-0.4)^{4-2}=0.3456$
- 当i=3时，$P(X=3)=\binom{4}{3}0.4^3(1-0.4)^{4-3}=0.1536$
- 当i=4时，$P(X=4)=\binom{4}{4}0.4^4(1-0.4)^{4-4}=0.0256$

步骤 3：计算随机变量X的分布函数
分布函数$F(x)=P(X\leqslant x)$，根据分布律计算得到X的分布函数。
- 当x<0时，$F(x)=0$
- 当0≤x<1时，$F(x)=P(X=0)=0.1296$
- 当1≤x<2时，$F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0.4752$
- 当2≤x<3时，$F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.8208$
- 当3≤x<4时，$F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.9744$
- 当x≥4时，$F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1$