题目

【例127】设数列(x_{n)}满足：x_(1)>0,x_(n)e^x_(n+1)=e^x_(n)-1(n=1,2,...),证明(x_{n)}收敛，并求lim x_(n).

【例127】设数列${x_{n}}$满足：$x_{1}>0,x_{n}e^{x_{n+1}}=e^{x_{n}}-1(n=1,2,\cdots)$,证明${x_{n}}$收敛，并求$\lim x_{n}$.

题目解答

答案

由递推关系 $x_n e^{x_{n+1}} = e^{x_n} - 1$，可得 \[ e^{x_{n+1}} = \frac{e^{x_n} - 1}{x_n}. \] 取对数得 \[ x_{n+1} = \ln \left( \frac{e^{x_n} - 1}{x_n} \right). \] 利用函数 $f(x) = e^x (1 - x)$ 在 $x > 0$ 时单调递减且 $f(0) = 1$，可证 \[ e^{x_n} (1 - x_n) < 1 \implies x_{n+1} < x_n, \] 即数列单调递减。又因 $x_1 > 0$，由拉格朗日中值定理知 \[ x_{n+1} = \xi \in (0, x_n), \] 故数列有下界 $0$。由单调有界原理，数列收敛。设极限为 $a$，则 \[ a e^a = e^a - 1 \implies e^a (1 - a) = 1. \] 由于 $f(x) = e^x (1 - x)$ 在 $x > 0$ 时单调递减且 $f(0) = 1$，唯一解为 $a = 0$。 **答案：** $\boxed{0}$

解析

本题主要考察数列收敛性的证明及极限计算，核心思路为单调有界原理，并结合函数性质辅助分析。

步骤1：转化递推关系

已知数列递推式 $x_n e^{x_{n+1}} = e^{x_n} - 1$（$x_1>0$），两边同除以 $x_n$ 得：
$e^{x_{n+1}} = \frac{e^{x_n} - 1}{x_n}$
取自然对数，得：
$x_{n+1} = \ln\left( \frac{e^{x_n} - 1}{x_n} \right)$

步骤2：证明数列单调递减

构造函数 $f(x) = e^x (1 - x)$（$( x>0$），求导得：
$f'(x) = e^x (1 - x) - e^x = - e^^x x < 0 \quad (x>0)$
故 $f(x)$ 在 $x>0$ ) 单调递减，且 $f(0) = e^0 (1 - 0) = 1$，因此对 $x>0，\( f(x) < f(0) = 1$，即：
$e^x (1 - x) < 1 \implies e^x - 1 < x e^x \implies \frac{e^x - 1}{x} < e^x$
两边取对数：
$\ln\left( \frac{e^x - 1}{x} \right) < x \ln(e^x) - \ln e^x? 不对，应该是：$\frac{e^x - 1}{x} < e^x$ 取对数得 $\ln\left(\frac{e^x - 1}{x}\right) < x$，即 $x_{n+1} = \ln\left(\frac{e^{x_n} - 1}{x_n}\right) < x_n$，即数列$\{x_n\}$单调递减。 ## **步骤3：证明数列有下界** 由 $x_1>0$，假设 $x_n>0$，则 $e^{x_n} - 1>0$（指数函数性质），$e^t>1$ 对 $t>0$），故 $x_{n+1} = \ln\left(\text{正数})>0$，归纳得 $x_n>0$ 对所有 $n$ 成立，即数列有下界为0。 ## **步骤4：求极限** 由单调有界原理，$\{x_n\}$收敛，设极限为$a$，对递推式取极限： \[ a e^a = e^a - 1 \implies e^a - 1) = -1 \implies e^a (1 - a) = 1$
因 $f(x) = e^x (1 - x)$ 单调递减且 $f(0)=1$，唯一解为$a=0$。