题目

函数下册 的零点的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3


函数

的零点的个数是                        (   )

  • 0      
  • 1        
  • 2        
  • 3

题目解答

答案


B


解析:

对于，因此函数在R上单调递增，而对于，因此其零点的个数为1个.


解析

考查要点：本题主要考查函数零点的存在性与个数的判断，涉及函数单调性和零点存在定理的应用。

解题核心思路：

  1. 判断函数单调性：若函数在定义域内严格单调（递增或递减），则最多有一个零点。
  2. 验证零点存在性：通过计算特定点的函数值，结合零点存在定理，判断是否存在零点。
  3. 综合结论：单调性保证唯一性，零点存在定理保证存在性，从而确定零点个数。

关键步骤分析：

  1. 判断单调性：
    若函数$f(x)$在$\mathbb{R}$上严格单调递增，则其导数$f'(x) > 0$对任意$x$成立。
    例如，若$f(x) = e^x + x$，则$f'(x) = e^x + 1 > 0$，说明函数严格递增。

  2. 验证零点存在性：

    • 计算特定点的函数值：
      • 当$x = 0$时，$f(0) = e^0 + 0 = 1 > 0$。
      • 当$x = -1$时，$f(-1) = e^{-1} + (-1) \approx -0.632 < 0$。
    • 根据零点存在定理，函数在区间$(-1, 0)$内至少有一个零点。

  3. 唯一性证明：
    由于函数严格单调递增，最多只有一个零点。结合存在性，最终确定零点个数为1。