题目

7、已知矢量E=e_(x)(x^2+axz)+e_(y)(xy^2+by)+e_(z)(z-z^2+czx-2xyz)，试确定常数a、b、c使E为无源场。(10分)

7、已知矢量$E=e_{x}(x^{2}+axz)+e_{y}(xy^{2}+by)+e_{z}(z-z^{2}+czx-2xyz)$，试确定常数a、b、c使E为无源场。(10分)

题目解答

答案

计算矢量场 $E$ 的散度： \[ \nabla \cdot E = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \] 其中，各分量为： \[ E_x = x^2 + axz, \quad E_y = xy^2 + by, \quad E_z = z - z^2 + czx - 2xyz \] 求偏导数： \[ \frac{\partial E_x}{\partial x} = 2x + az, \quad \frac{\partial E_y}{\partial y} = 2xy + b, \quad \frac{\partial E_z}{\partial z} = 1 - 2z - 2xy \] 散度为： \[ \nabla \cdot E = 2x + az + 2xy + b + 1 - 2z - 2xy = 2x + (a - 2)z + b + 1 \] 为使散度恒为零，需满足： \[ 2x + (a - 2)z + b + 1 = 0 \] 解得： \[ a = 2, \quad b = -1, \quad c = -2 \] **答案：** \[ \boxed{a = 2, b = -1, c = -2} \]

解析

无源场的定义是矢量场的散度为零。本题要求确定常数$a$、$b$、$c$，使得矢量场$E$满足$\nabla \cdot E = 0$。解题的核心思路是：

  1. 计算散度：分别对$E_x$、$E_y$、$E_z$求偏导并相加；
  2. 整理表达式：将散度结果中的同类项合并；
  3. 令系数为零：由于散度必须恒为零，所有$x$、$z$的系数及常数项均需为零，从而解出$a$、$b$、$c$。

计算散度

矢量场$E$的分量为：
$E_x = x^2 + a x z, \quad E_y = x y^2 + b y, \quad E_z = z - z^2 + c z x - 2x y z$

  1. 求偏导数：

    • $\frac{\partial E_x}{\partial x} = 2x + a z$
    • $\frac{\partial E_y}{\partial y} = 2x y + b$
    • $\frac{\partial E_z}{\partial z} = 1 - 2z + c x - 2x y$

  2. 求和：
    $\nabla \cdot E = (2x + a z) + (2x y + b) + (1 - 2z + c x - 2x y)$

整理表达式

合并同类项后：
$\nabla \cdot E = (2 + c)x + (a - 2)z + b + 1$

令系数为零

为使$\nabla \cdot E = 0$恒成立，需满足：

  1. $x$的系数：$2 + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = -2$
  2. $z$的系数：$a - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 2$
  3. 常数项：$b + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -1$