6.质点沿直线运动,初速v0,加速度 =-ksqrt (v), k为正常数,求:-|||-(1)质点完全静止所需的时间;-|||-(2)这段时间内运动的距离。

步骤 1：确定加速度与速度的关系
根据题目条件，加速度 $a=-k\sqrt{v}$，其中 $k$ 是正常数。这意味着加速度与速度的平方根成反比。

步骤 2：求解速度随时间的变化
由于加速度是速度对时间的导数，即 $a = \frac{dv}{dt}$，我们可以将加速度的表达式代入，得到 $\frac{dv}{dt} = -k\sqrt{v}$。这是一个可分离变量的微分方程，可以通过分离变量并积分来求解速度 $v$ 随时间 $t$ 的变化关系。
$$
\int_{v_0}^{v} \frac{dv}{\sqrt{v}} = -k \int_{0}^{t} dt
$$
$$
2\sqrt{v} \Big|_{v_0}^{v} = -kt
$$
$$
2\sqrt{v} - 2\sqrt{v_0} = -kt
$$
$$
\sqrt{v} = \sqrt{v_0} - \frac{kt}{2}
$$
$$
v = \left(\sqrt{v_0} - \frac{kt}{2}\right)^2
$$
当质点完全静止时，$v = 0$，因此可以求得质点完全静止所需的时间 $t$。
$$
0 = \left(\sqrt{v_0} - \frac{kt}{2}\right)^2
$$
$$
\sqrt{v_0} = \frac{kt}{2}
$$
$$
t = \frac{2\sqrt{v_0}}{k}
$$

步骤 3：求解质点运动的距离
质点的速度 $v$ 与时间 $t$ 的关系已经求出，现在需要求解质点运动的距离 $x$。由于速度是位置对时间的导数，即 $v = \frac{dx}{dt}$，我们可以将速度的表达式代入，得到 $\frac{dx}{dt} = \left(\sqrt{v_0} - \frac{kt}{2}\right)^2$。这是一个可分离变量的微分方程，可以通过分离变量并积分来求解位置 $x$ 随时间 $t$ 的变化关系。
$$
\int_{0}^{x} dx = \int_{0}^{t} \left(\sqrt{v_0} - \frac{kt}{2}\right)^2 dt
$$
$$
x = \int_{0}^{t} \left(\sqrt{v_0} - \frac{kt}{2}\right)^2 dt
$$
$$
x = \int_{0}^{t} \left(v_0 - k\sqrt{v_0}t + \frac{k^2t^2}{4}\right) dt
$$
$$
x = \left[v_0t - \frac{k\sqrt{v_0}t^2}{2} + \frac{k^2t^3}{12}\right]_{0}^{t}
$$
$$
x = v_0t - \frac{k\sqrt{v_0}t^2}{2} + \frac{k^2t^3}{12}
$$
将质点完全静止所需的时间 $t = \frac{2\sqrt{v_0}}{k}$ 代入上式，可以求得这段时间内运动的距离 $x$。
$$
x = v_0\left(\frac{2\sqrt{v_0}}{k}\right) - \frac{k\sqrt{v_0}\left(\frac{2\sqrt{v_0}}{k}\right)^2}{2} + \frac{k^2\left(\frac{2\sqrt{v_0}}{k}\right)^3}{12}
$$
$$
x = \frac{2v_0^{3/2}}{k} - \frac{2v_0^{3/2}}{k} + \frac{2v_0^{3/2}}{3k}
$$
$$
x = \frac{2v_0^{3/2}}{3k}
$$