求极限lim _(xarrow infty )((dfrac {x)(1+x))}^2x+3

考查要点：本题主要考查无穷极限的求解方法，特别是处理形如$1^\infty$型不定式的技巧，以及利用自然指数函数$e$的极限形式进行转化的能力。

解题核心思路：

1. 识别极限类型：当$x \to \infty$时，底数$\dfrac{x}{1+x} \to 1$，指数$2x+3 \to \infty$，属于$1^\infty$型不定式。
2. 转化形式：将底数改写为$1 - \dfrac{1}{1+x}$，并利用极限公式$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{a}{n}\right)^n = e^{-a}$。
3. 变量替换与化简：通过变量替换或泰勒展开，将复杂表达式转化为标准指数形式。

破题关键点：

• 正确改写底数：将$\dfrac{x}{1+x}$转化为$1 - \dfrac{1}{1+x}$，为应用标准极限公式做准备。
• 处理指数部分：通过变量替换或直接化简，将指数$2x+3$与分母$1+x$的比值转化为常数。

步骤1：改写底数
将原式改写为：
$\left(1 - \dfrac{1}{1+x}\right)^{2x+3}$

步骤2：应用自然对数转化
设极限值为$L$，则：
$\ln L = \lim_{x \to \infty} (2x+3) \cdot \ln\left(1 - \dfrac{1}{1+x}\right)$

步骤3：泰勒展开近似
当$x \to \infty$时，$\dfrac{1}{1+x} \to 0$，利用泰勒展开$\ln(1 - y) \approx -y$（$y$较小时）：
$\ln\left(1 - \dfrac{1}{1+x}\right) \approx -\dfrac{1}{1+x}$

步骤4：化简极限表达式
代入近似值：
$\ln L \approx \lim_{x \to \infty} (2x+3) \cdot \left(-\dfrac{1}{1+x}\right) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-(2x+3)}{1+x}$

步骤5：求极限并还原结果
分子分母同除以$x$：
$\lim_{x \to \infty} \dfrac{-2 - \dfrac{3}{x}}{\dfrac{1}{x} + 1} = \dfrac{-2}{1} = -2$
因此，$L = e^{-2}$。