题目

用极限的定义证明lim _(narrow infty )dfrac (sqrt {{n)^2+(a)^2}}(n)=1

用极限的定义证明 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^2+a^2}}{n}=1$

题目解答

答案

化简 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^2+a^2}}{n}$

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^2+a^2}}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{n^2+a^2}{n^2}}$

$=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{1+\frac{a^2}{n^2}}$

根据极限的定义 $n\rightarrow\infty,\frac{1}{n^2}\rightarrow0$ ，

无穷小量乘以常数仍为无穷小量，

所以 $\frac{a^2}{n^2}\rightarrow0$

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^2+a^2}}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{1+\frac{a^2}{n^2}}=1$

综上， $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^2+a^2}}{n}=1$

解析

步骤 1：化简表达式
首先，我们化简给定的极限表达式$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sqrt {{n}^{2}+{a}^{2}}}{n}$。我们可以通过将分子和分母同时除以$n$来简化这个表达式。
步骤 2：应用极限定义
根据极限的定义，当$n$趋向于无穷大时，$\dfrac {1}{{n}^{2}}$趋向于0。因此，我们可以利用这个性质来进一步简化表达式。
步骤 3：计算极限
利用上述性质，我们可以计算出给定表达式的极限值。