题目

三、证明题(15分)设A,B为n阶实对称矩阵.证明 (((AB))^2)leqslant tT((A)^2(B)^2) -

题目解答

答案

解析

本题考查实对称矩阵的性质、矩阵的迹以及二次型的相关知识。解题的关键思路是利用实对称矩阵可正交相似对角化的性质，将矩阵$A$和$B$转化为对角矩阵，然后分别计算$tr((AB)^2)$和$tr(A^2B^2)$，最后通过作差来证明不等式。

  1. 利用实对称矩阵的性质进行对角化：
    • 因为$A$为$n$阶实对称矩阵，根据实对称矩阵的性质，存在可逆方阵$T$，使得$T^{-1}AT = \overline{A}$为对角阵。
    • 令$T^{-1}BT = \overline{B}$，由于$B$也是实对称方阵，所以$\overline{B}$同样为实对称方阵。
    • 根据矩阵迹的性质$tr(M)=tr(P^{-1}MP)$（其中$M$为方阵，$P$为可逆方阵），可得$tr((AB)^2)=tr((\overline{A}\overline{B})^2)$，$tr(A^2B^2)=tr(\overline{A}^2\overline{B}^2)$。
  2. 设出对角矩阵的形式并计算$tr((\overline{A}\overline{B})^2)$：
    • 设$\overline{A}=diag(a_{11},\cdots,a_{nn})$，$\overline{B}=(b_{ij})_{n\times n}$。
    • 先计算$(\overline{A}\overline{B})^2=\overline{A}\overline{B}\overline{A}\overline{B}$。
    • 计算$tr((\overline{A}\overline{B})^2)$：
      • 对于$i = j$的情况，$(\overline{A}\overline{B})^2$的$(i,i)$元素为$\sum_{k = 1}^{n}a_{ik}b_{kj}a_{jk}b_{ki}=\sum_{k = 1}^{n}a_{ii}^2b_{ki}^2$，对$i$从$1$到$n$求和得到$\sum_{i = 1}^{n}\sum_{k = 1}^{n}a_{ii}^2b_{ki}^2=\sum_{i = 1}^{n}a_{ii}^2\sum_{k = 1}^{n}b_{ki}^2$。
      • 对于$i\neq j$的情况，$(\overline{A}\overline{B})^2$的$(i,j)$元素为$2a_{ii}a_{jj}b_{ij}^2$，对$1\leqslant i\lt j\leqslant n$求和得到$2\sum_{1\leqslant i\lt j\leqslant n}a_{ii}a_{jj}b_{ij}^2$。
      • 所以$tr((\overline{A}\overline{B})^2)=2\sum_{1\leqslant i\lt j\leqslant n}a_{ii}a_{jj}b_{ij}^2+\sum_{i = 1}^{n}a_{ii}^2\sum_{k = 1}^{n}b_{ki}^2$。
  3. 计算$tr(\overline{A}^2\overline{B}^2)$：
    • 因为$\overline{A}^2 = diag(a_{11}^2,\cdots,a_{nn}^2)$，所以$tr(\overline{A}^2\overline{B}^2)=\sum_{i = 1}^{n}a_{ii}^2\sum_{k = 1}^{n}b_{ki}^2+\sum_{1\leqslant i\lt j\leqslant n}(a_{ii}^2 + a_{jj}^2)b_{ij}^2$。
  4. 计算$tr((AB)^2)-tr(A^2B^2)$：
    • $tr((AB)^2)-tr(A^2B^2)=tr((\overline{A}\overline{B})^2)-tr(\overline{A}^2\overline{B}^2)$
    • $=2\sum_{1\leqslant i\lt j\leqslant n}a_{ii}a_{jj}b_{ij}^2+\sum_{i = 1}^{n}a_{ii}^2\sum_{k = 1}^{n}b_{ki}^2-\left(\sum_{i = 1}^{n}a_{ii}^2\sum_{k = 1}^{n}b_{ki}^2+\sum_{1\leqslant i\lt j\leqslant n}(a_{ii}^2 + a_{jj}^2)b_{ij}^2\right)$
    • $=2\sum_{1\leqslant i\lt j\leqslant n}a_{ii}a_{jj}b_{ij}^2-\sum_{1\leqslant i\lt j\leqslant n}(a_{ii}^2 + a_{jj}^2)b_{ij}^2$
    • $=-\sum_{1\leqslant i\lt j\leqslant n}(a_{ii}-a_{jj})^2b_{ij}^2$。
    • 由于$(a_{ii}-a_{jj})^2\geqslant0$，$b_{ij}^2\geqslant0$，所以$-\sum_{1\leqslant i\lt j\leqslant n}(a_{ii}-a_{jj})^2b_{ij}^2\leqslant0$，即$tr((AB)^2)\leqslant tr(A^2B^2)$。