题目
由 y = x 3 , x = 2 , y = 0 所围成的图形 , 分别绕 x 轴及 y 轴旋转 , 计算所得两个旋转体的体积 .
由 y = x 3 , x = 2 , y = 0 所围成的图形 , 分别绕 x 轴及 y 轴旋转 , 计算所得两个旋转体的体积 .
题目解答
答案
Vx=128π/7; Vy=64π/5.
解析
步骤 1：确定旋转体的体积公式
旋转体的体积可以通过积分来计算。绕 x 轴旋转的体积公式为 Vx = π∫[a,b] y^2 dx，绕 y 轴旋转的体积公式为 Vy = π∫[c,d] x^2 dy。
步骤 2：计算绕 x 轴旋转的体积
绕 x 轴旋转的体积 Vx = π∫[0,2] (x^3)^2 dx = π∫[0,2] x^6 dx = π[x^7/7]_0^2 = π(2^7/7 - 0) = 128π/7。
步骤 3：计算绕 y 轴旋转的体积
绕 y 轴旋转的体积 Vy = π∫[0,8] (y^(1/3))^2 dy = π∫[0,8] y^(2/3) dy = π[y^(5/3)/(5/3)]_0^8 = π(8^(5/3)/(5/3) - 0) = 64π/5。
旋转体的体积可以通过积分来计算。绕 x 轴旋转的体积公式为 Vx = π∫[a,b] y^2 dx，绕 y 轴旋转的体积公式为 Vy = π∫[c,d] x^2 dy。
步骤 2：计算绕 x 轴旋转的体积
绕 x 轴旋转的体积 Vx = π∫[0,2] (x^3)^2 dx = π∫[0,2] x^6 dx = π[x^7/7]_0^2 = π(2^7/7 - 0) = 128π/7。
步骤 3：计算绕 y 轴旋转的体积
绕 y 轴旋转的体积 Vy = π∫[0,8] (y^(1/3))^2 dy = π∫[0,8] y^(2/3) dy = π[y^(5/3)/(5/3)]_0^8 = π(8^(5/3)/(5/3) - 0) = 64π/5。