题目
设随机变量X和Y有如下的分布律.且P((X)^2=(Y)^2)=1.求：X01Pdfrac(1)(3)dfrac(2)(3)Y-101Pdfrac(1)(3)dfrac(1)(3)dfrac(1)(3)(1),(X,Y)的分布律；(2)Z=XY的分布律.
设随机变量$X$和$Y$有如下的分布律.且$P\left({X}^{2}={Y}^{2}\right)=1$.求：
$X$ | $0$ | $1$ |
$P$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{2}{3}$ |
$Y$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
$P$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{1}{3}$ |
$\left(1\right)\,\left(X,Y\right)$的分布律；
$\left(2\right)Z=XY$的分布律.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定联合分布律
由于$P\left({X}^{2}={Y}^{2}\right)=1$，这意味着$X$和$Y$的平方相等，因此$X$和$Y$的取值必须满足$X^2 = Y^2$。根据$X$和$Y$的分布律，$X$可以取$0$或$1$，$Y$可以取$-1$、$0$或$1$。因此，$X$和$Y$的联合分布律需要满足$X^2 = Y^2$的条件，即$X=0$时$Y=0$，$X=1$时$Y=-1$或$Y=1$。
步骤 2：计算联合分布律
根据$X$和$Y$的分布律，$X=0$的概率为$\dfrac{1}{3}$，$X=1$的概率为$\dfrac{2}{3}$。当$X=0$时，$Y=0$的概率为$\dfrac{1}{3}$，因此$P(X=0,Y=0)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}$。当$X=1$时，$Y=-1$或$Y=1$的概率各为$\dfrac{1}{3}$，因此$P(X=1,Y=-1)=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}$，$P(X=1,Y=1)=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}$。
步骤 3：计算$Z=XY$的分布律
根据$X$和$Y$的联合分布律，$Z=XY$的取值为$0$、$-1$和$1$。$Z=0$的概率为$P(X=0,Y=0)=\dfrac{1}{9}$。$Z=-1$的概率为$P(X=1,Y=-1)=\dfrac{2}{9}$。$Z=1$的概率为$P(X=1,Y=1)=\dfrac{2}{9}$。
由于$P\left({X}^{2}={Y}^{2}\right)=1$，这意味着$X$和$Y$的平方相等，因此$X$和$Y$的取值必须满足$X^2 = Y^2$。根据$X$和$Y$的分布律，$X$可以取$0$或$1$，$Y$可以取$-1$、$0$或$1$。因此，$X$和$Y$的联合分布律需要满足$X^2 = Y^2$的条件，即$X=0$时$Y=0$，$X=1$时$Y=-1$或$Y=1$。
步骤 2：计算联合分布律
根据$X$和$Y$的分布律，$X=0$的概率为$\dfrac{1}{3}$，$X=1$的概率为$\dfrac{2}{3}$。当$X=0$时，$Y=0$的概率为$\dfrac{1}{3}$，因此$P(X=0,Y=0)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}$。当$X=1$时，$Y=-1$或$Y=1$的概率各为$\dfrac{1}{3}$，因此$P(X=1,Y=-1)=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}$，$P(X=1,Y=1)=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}$。
步骤 3：计算$Z=XY$的分布律
根据$X$和$Y$的联合分布律，$Z=XY$的取值为$0$、$-1$和$1$。$Z=0$的概率为$P(X=0,Y=0)=\dfrac{1}{9}$。$Z=-1$的概率为$P(X=1,Y=-1)=\dfrac{2}{9}$。$Z=1$的概率为$P(X=1,Y=1)=\dfrac{2}{9}$。