设(an)，(bn)，(cn)均为非负数列，且 lim n→∞ an=0， lim n→∞ bn=1， lim n→∞ cn=∞，则必有（ ） A. an＜bn对任意n成立 B. bn＜cn对任意n成立 C. 极限 lim n→∞ ancn不存在 D. 极限 lim n→∞ bncn不存在

考查要点：本题主要考查数列极限的性质及运算，特别是涉及不同极限类型数列乘积的极限是否存在。

解题核心思路：

1. 排除法：通过构造反例排除错误选项。
2. 极限乘积分析：结合数列的极限趋势（如趋向于0、常数、无穷大）判断乘积的极限是否存在。
3. 关键结论：
   • 趋向于0的数列与趋向于无穷大的数列的乘积可能收敛或发散，具体取决于两者的衰减/增长速度。
   • 趋向于常数的数列与趋向于无穷大的数列的乘积必然趋向于无穷大，因此极限不存在。

选项分析

选项A

反例：若存在某项$a_1 = 0.5$，$b_1 = 0.3$，则$a_1 > b_1$，说明$a_n < b_n$不一定成立。
结论：错误。

选项B

反例：若$c_1 = 0.5$，$b_1 = 1$，则$b_1 > c_1$，说明$b_n < c_n$不一定成立。
结论：错误。

选项C

反例：取$a_n = \frac{1}{n}$，$c_n = n$，则$a_n c_n = 1$，极限为1（存在）。
结论：错误。

选项D

分析：

• $b_n \to 1$，当$n$足够大时，$b_n > \frac{1}{2}$。
• $c_n \to \infty$，则$b_n c_n > \frac{1}{2} c_n \to \infty$。
• 因此，$b_n c_n \to \infty$，极限不存在。
  结论：正确。