设随机变量 xi 的概率密度为 varphi(x)= Ae^-(|x|)/(2)，则 A=()。A. 2B. 1C. (1)/(2)D. (1)/(4)

考查要点：本题主要考查概率密度函数的归一化条件，即概率密度函数在整个定义域上的积分等于1。关键在于利用偶函数的对称性简化积分计算，并正确应用指数函数的积分公式。

解题思路：

1. 归一化条件：概率密度函数的积分必须等于1。
2. 对称性简化：利用绝对值函数的偶性，将积分区间从$(-\infty, \infty)$转化为$[0, \infty)$的两倍。
3. 变量替换：通过变量替换简化指数积分，最终求出常数$A$。

步骤1：应用归一化条件

概率密度函数$\varphi(x) = Ae^{-\frac{|x|}{2}}$的积分必须满足：
$\int_{-\infty}^{\infty} Ae^{-\frac{|x|}{2}} dx = 1$

步骤2：利用对称性简化积分

由于$|x|$是偶函数，积分可简化为：
$\int_{-\infty}^{\infty} Ae^{-\frac{|x|}{2}} dx = 2A \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{x}{2}} dx$

步骤3：变量替换计算积分

令$u = \frac{x}{2}$，则$dx = 2du$，积分变为：
$\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{x}{2}} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-u} \cdot 2 du = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-u} du = 2 \cdot 1 = 2$

步骤4：求解常数$A$

代入归一化条件：
$2A \cdot 2 = 1 \implies 4A = 1 \implies A = \frac{1}{4}$