题目
5-21 已知两同方向同频率的简谐振动的运-|||-动方程分别为 _(1)=0.05cos (10t+0.75pi ) , _(2)=-|||-.06cos (10t+0.25pi ), 式中x1、x2的单位为m,t的-|||-单位为s.求:(1)合振动的振幅及初相;(2)若有-|||-另一同方向同频率的简谐振动 _(3)=0.07 cos (10t+-|||-φ3),式中x3的单位为m,t的单位为s,则φ3为多-|||-少时, _(1)+(x)_(3) 的振幅最大?又φ3为多少时, _(2)+(x)_(3) 的-|||-振幅最小?
题目解答
答案
解析
步骤 1：求合振动的振幅及初相
首先，将两个简谐振动的运动方程写为复数形式，以便于计算。对于 ${x}_{1}=0.05\cos (10t+0.75\pi )$ 和 ${x}_{2}=0.06\cos (10t+0.25\pi )$，它们的复数形式分别为 ${z}_{1}=0.05\exp (i(10t+0.75\pi ))$ 和 ${z}_{2}=0.06\exp (i(10t+0.25\pi ))$。合振动的复数形式为 ${z}_{1}+{z}_{2}$，即 $0.05\exp (i(10t+0.75\pi ))+0.06\exp (i(10t+0.25\pi ))$。将它们合并，得到 $0.05\exp (i0.75\pi )+0.06\exp (i0.25\pi )$。计算这个复数的模和幅角，即可得到合振动的振幅和初相。
步骤 2：计算 ${x}_{1}+{x}_{3}$ 的振幅最大时的φ3
对于 ${x}_{1}+{x}_{3}$ 的振幅最大，需要 ${x}_{1}$ 和 ${x}_{3}$ 的相位差为0或2π的整数倍，即 $0.75\pi -\phi _{3}=2k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$。解这个方程，得到 $\phi _{3}=2k\pi +0.75\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$。
步骤 3：计算 ${x}_{2}+{x}_{3}$ 的振幅最小时的φ3
对于 ${x}_{2}+{x}_{3}$ 的振幅最小，需要 ${x}_{2}$ 和 ${x}_{3}$ 的相位差为π或2π的整数倍，即 $0.25\pi -\phi _{3}=(2k+1)\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$。解这个方程，得到 $\phi _{3}=2k\pi +1.25\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$。
首先，将两个简谐振动的运动方程写为复数形式，以便于计算。对于 ${x}_{1}=0.05\cos (10t+0.75\pi )$ 和 ${x}_{2}=0.06\cos (10t+0.25\pi )$，它们的复数形式分别为 ${z}_{1}=0.05\exp (i(10t+0.75\pi ))$ 和 ${z}_{2}=0.06\exp (i(10t+0.25\pi ))$。合振动的复数形式为 ${z}_{1}+{z}_{2}$，即 $0.05\exp (i(10t+0.75\pi ))+0.06\exp (i(10t+0.25\pi ))$。将它们合并，得到 $0.05\exp (i0.75\pi )+0.06\exp (i0.25\pi )$。计算这个复数的模和幅角，即可得到合振动的振幅和初相。
步骤 2：计算 ${x}_{1}+{x}_{3}$ 的振幅最大时的φ3
对于 ${x}_{1}+{x}_{3}$ 的振幅最大，需要 ${x}_{1}$ 和 ${x}_{3}$ 的相位差为0或2π的整数倍，即 $0.75\pi -\phi _{3}=2k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$。解这个方程，得到 $\phi _{3}=2k\pi +0.75\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$。
步骤 3：计算 ${x}_{2}+{x}_{3}$ 的振幅最小时的φ3
对于 ${x}_{2}+{x}_{3}$ 的振幅最小，需要 ${x}_{2}$ 和 ${x}_{3}$ 的相位差为π或2π的整数倍，即 $0.25\pi -\phi _{3}=(2k+1)\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$。解这个方程，得到 $\phi _{3}=2k\pi +1.25\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$。