题目

计算 lim _(xarrow dfrac {pi )(2)}dfrac (ln sin x)({(pi -2x))^2}

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是洛必达法则的应用，以及变量替换和等价无穷小的使用。

解题核心思路：
当$x \rightarrow \dfrac{\pi}{2}$时，分子$\ln \sin x$和分母$(\pi - 2x)^2$均趋近于$0$，形成$\dfrac{0}{0}$型不定式。此时可优先考虑洛必达法则，通过两次求导化简表达式。此外，通过变量替换$t = \dfrac{\pi}{2} - x$，将原式转化为关于$t$的极限，利用等价无穷小$\ln \cos t \sim -\dfrac{t^2}{2}$也能快速求解。

破题关键点：

  1. 识别极限形式为$\dfrac{0}{0}$型，确定使用洛必达法则的可行性。
  2. 注意分母$(\pi - 2x)^2$的导数计算，避免符号错误。
  3. 第二次应用洛必达法则后，正确化简表达式并代入$x = \dfrac{\pi}{2}$。

方法一：洛必达法则

  1. 第一次应用洛必达法则
    分子导数：$\dfrac{d}{dx} \ln \sin x = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x$
    分母导数：$\dfrac{d}{dx} (\pi - 2x)^2 = 2(\pi - 2x)(-2) = -4(\pi - 2x)$
    此时极限变为：
    $\lim_{x \rightarrow \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\cot x}{-4(\pi - 2x)}$

  2. 第二次应用洛必达法则
    分子导数：$\dfrac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x$
    分母导数：$\dfrac{d}{dx} [-4(\pi - 2x)] = -4(-2) = 8$
    此时极限变为：
    $\lim_{x \rightarrow \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{-\csc^2 x}{8}$

  3. 代入$x = \dfrac{\pi}{2}$
    $\csc \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{1}{\sin \dfrac{\pi}{2}} = 1$，因此：
    $\dfrac{-1^2}{8} = -\dfrac{1}{8}$

方法二：变量替换与等价无穷小

  1. 变量替换
    令$t = \dfrac{\pi}{2} - x$，当$x \rightarrow \dfrac{\pi}{2}$时，$t \rightarrow 0$。原式变形为：
    $\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{\ln \cos t}{(2t)^2} = \lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{\ln \cos t}{4t^2}$

  2. 等价无穷小替换
    当$t \rightarrow 0$时，$\ln \cos t \sim -\dfrac{t^2}{2}$，代入得：
    $\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{-\dfrac{t^2}{2}}{4t^2} = -\dfrac{1}{8}$