一无限长、半径为a的圆柱体上电荷均匀分布，单位长度的电荷为lambda_(1)。圆柱体外部沿半径方向放一根长为a的细线，细线均匀带电，线密度为lambda_(2)。求：(1)圆柱体内距轴线距离为r处的电场强度；(2)圆柱体外的细线所受的力。

考查要点：本题主要考查高斯定律在圆柱对称电场中的应用以及带电体在电场中受力的积分计算。

解题思路：

1. 第（1）题：利用高斯定律求解圆柱体内电场。由于电荷均匀分布，选取同轴圆柱形高斯面，通过计算高斯面内的总电荷量，结合高斯定律公式求解电场强度。
2. 第（2）题：先求出圆柱体外的电场分布，再将细线上的电荷微元在电场中受力积分求和。需注意细线的空间位置与电场的径向关系。

破题关键：

• 高斯面的选择：圆柱对称性下，高斯面应为同轴圆柱面。
• 电荷分布的均匀性：圆柱体内电荷密度为$\rho = \lambda_1 / (\pi a^2)$，需正确计算高斯面内的总电荷。
• 积分变量的确定：细线沿径向放置，积分变量为径向距离$r$，需明确积分上下限。

第（1）题

应用高斯定律

取半径为$r$、长度为$L$的同轴圆柱形高斯面，其侧面积为$2\pi r L$。
圆柱体内单位长度的总电荷为$\lambda_1$，电荷均匀分布在半径$a$的圆柱体积中，因此高斯面内的总电荷为：
$Q_{\text{内}} = \lambda_1 \cdot \frac{\pi r^2}{\pi a^2} \cdot L = \frac{\lambda_1 r^2 L}{a^2}.$

求解电场强度

根据高斯定律$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{内}} / \epsilon_0$，得：
$E \cdot 2\pi r L = \frac{\lambda_1 r^2 L}{\epsilon_0 a^2}.$
解得：
$E = \frac{\lambda_1 r}{2\pi \epsilon_0 a^2}.$
电场方向与高斯面法线方向一致，即径向向外（若$\lambda_1 > 0$）。

第（2）题

圆柱体外的电场

对于$r > a$，同理应用高斯定律可得电场强度为：
$E_{\text{外}} = \frac{\lambda_1}{2\pi \epsilon_0 r}.$

细线受力积分

细线沿径向从$r=a$到$r=2a$分布，线密度为$\lambda_2$。取微小线元$dr$，其电荷为$\lambda_2 dr$，受力为：
$dF = \lambda_2 dr \cdot E_{\text{外}} = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{2\pi \epsilon_0 r} dr.$
总力为积分：
$F = \int_{a}^{2a} \frac{\lambda_1 \lambda_2}{2\pi \epsilon_0 r} dr = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{2\pi \epsilon_0} \ln 2.$
方向与电场方向一致，即径向向外（若$\lambda_1, \lambda_2 > 0$）。