计算极限lim _(xarrow 0)((cos 2x))^dfrac (1{{x)^2}}

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理形如“1的∞次方”型未定式的技巧。需要掌握自然对数转换法和等价无穷小替换或洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 将原式转化为指数函数形式，利用公式 $a^b = e^{b \ln a}$，将问题转化为求指数部分的极限。
2. 计算内部极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos 2x)}{x^2}$，可通过泰勒展开或洛必达法则求解。
3. 结合结果，最终得到原式的极限值。

破题关键点：

• 识别“1的∞次方”型未定式，选择合适的转换方法。
• 正确应用等价无穷小替换（如 $\ln(\cos 2x) \sim -2x^2$）或洛必达法则求解内部极限。

步骤1：转换为指数函数形式
原式为 $\lim_{x \to 0} (\cos 2x)^{\frac{1}{x^2}}$，根据公式 $a^b = e^{b \ln a}$，可改写为：
$\lim_{x \to 0} (\cos 2x)^{\frac{1}{x^2}} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos 2x)}{x^2}}.$

步骤2：计算内部极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos 2x)}{x^2}$
当 $x \to 0$ 时，$\cos 2x \sim 1 - \frac{(2x)^2}{2} = 1 - 2x^2$，因此：
$\ln(\cos 2x) \sim \ln(1 - 2x^2) \sim -2x^2 \quad (\text{利用泰勒展开 } \ln(1 - y) \sim -y).$
代入得：
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos 2x)}{x^2} \sim \lim_{x \to 0} \frac{-2x^2}{x^2} = -2.$

步骤3：结合结果
将内部极限代入原式：
$e^{\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos 2x)}{x^2}} = e^{-2}.$