题目
在区间-6,2)内，将函数-6,2)展开成-6,2)的幂级数，其表达式为_______。A.-6,2)B.-6,2)C.-6,2)D.-6,2)
在区间
内，将函数
展开成
的幂级数，其表达式为_______。
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
由于
，
利用变量代换
（或
）及公式
，便得
，
，所以展开成幂级数为
。故应选C选项。
解析
步骤 1：分解函数
将函数$f(x)=\dfrac {1}{{x}^{2}+3x+2}$分解为部分分式。
$f(x)=\dfrac {1}{(x+1)(x+2)}=\dfrac {1}{x+1}-\dfrac {1}{x+2}$
步骤 2：变量代换
将$x+4$作为新的变量，即$t=x+4$，则$x=t-4$。
$f(x)=\dfrac {1}{-3+(x+4)}-\dfrac {1}{-2+(x+4)}$
$=-\dfrac {1}{3(1-\dfrac {x+4}{3})}+\dfrac {1}{2(1-\dfrac {x+4}{2})}$
步骤 3：利用幂级数展开
利用公式$\dfrac {1}{1-t}=\sum _{n=0}^{\infty }{t}^{n}(|t|\lt 1)$，将函数展开成幂级数。
$-\dfrac {1}{3(1-\dfrac {x+4}{3})}=\dfrac {1}{3}\sum _{n=0}^{\infty }{(\dfrac {x+4}{3})}^{n}(-7\lt x\lt -1)$
$\dfrac {1}{2(1-\dfrac {x+4}{2})}=\dfrac {1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }{(\dfrac {x+4}{2})}^{n}(-6\lt x\lt -2)$
步骤 4：合并幂级数
将两个幂级数合并，得到$f(x)$的幂级数表达式。
$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(\dfrac {1}{{2}^{n+1}}-\dfrac {1}{{3}^{n+1}}){(x+4)}^{n}(-6\lt x\lt -2)$
将函数$f(x)=\dfrac {1}{{x}^{2}+3x+2}$分解为部分分式。
$f(x)=\dfrac {1}{(x+1)(x+2)}=\dfrac {1}{x+1}-\dfrac {1}{x+2}$
步骤 2：变量代换
将$x+4$作为新的变量，即$t=x+4$，则$x=t-4$。
$f(x)=\dfrac {1}{-3+(x+4)}-\dfrac {1}{-2+(x+4)}$
$=-\dfrac {1}{3(1-\dfrac {x+4}{3})}+\dfrac {1}{2(1-\dfrac {x+4}{2})}$
步骤 3：利用幂级数展开
利用公式$\dfrac {1}{1-t}=\sum _{n=0}^{\infty }{t}^{n}(|t|\lt 1)$，将函数展开成幂级数。
$-\dfrac {1}{3(1-\dfrac {x+4}{3})}=\dfrac {1}{3}\sum _{n=0}^{\infty }{(\dfrac {x+4}{3})}^{n}(-7\lt x\lt -1)$
$\dfrac {1}{2(1-\dfrac {x+4}{2})}=\dfrac {1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }{(\dfrac {x+4}{2})}^{n}(-6\lt x\lt -2)$
步骤 4：合并幂级数
将两个幂级数合并，得到$f(x)$的幂级数表达式。
$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(\dfrac {1}{{2}^{n+1}}-\dfrac {1}{{3}^{n+1}}){(x+4)}^{n}(-6\lt x\lt -2)$