题目
(4)函数u=x+sin(y)/(2)+e^yz的全微分du=_____.
(4)函数$u=x+\sin\frac{y}{2}+e^{yz}$的全微分du=_____.
题目解答
答案
计算函数 $ u = x + \sin \frac{y}{2} + e^{yz} $ 的全微分 $ du $：
1. 求偏导数：
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2} \cos \frac{y}{2} + z e^{yz}, \quad \frac{\partial u}{\partial z} = y e^{yz}
\]
2. 构造全微分：
\[
du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy + \frac{\partial u}{\partial z} dz
\]
3. 代入偏导数：
\[
du = dx + \left( \frac{1}{2} \cos \frac{y}{2} + z e^{yz} \right) dy + y e^{yz} dz
\]
**答案：**
\[
\boxed{dx + \left( \frac{1}{2} \cos \frac{y}{2} + z e^{yz} \right) dy + y e^{yz} dz}
\]
解析
步骤 1：求偏导数
对函数 $u = x + \sin \frac{y}{2} + e^{yz}$，分别对 $x$、$y$、$z$ 求偏导数。
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = 1 \]
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2} \cos \frac{y}{2} + z e^{yz} \]
\[ \frac{\partial u}{\partial z} = y e^{yz} \]
步骤 2：构造全微分
根据全微分的定义，将偏导数与对应的微分相乘并相加。
\[ du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy + \frac{\partial u}{\partial z} dz \]
步骤 3：代入偏导数
将步骤 1 中求得的偏导数代入步骤 2 中的全微分公式。
\[ du = dx + \left( \frac{1}{2} \cos \frac{y}{2} + z e^{yz} \right) dy + y e^{yz} dz \]
对函数 $u = x + \sin \frac{y}{2} + e^{yz}$，分别对 $x$、$y$、$z$ 求偏导数。
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = 1 \]
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2} \cos \frac{y}{2} + z e^{yz} \]
\[ \frac{\partial u}{\partial z} = y e^{yz} \]
步骤 2：构造全微分
根据全微分的定义，将偏导数与对应的微分相乘并相加。
\[ du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy + \frac{\partial u}{\partial z} dz \]
步骤 3：代入偏导数
将步骤 1 中求得的偏导数代入步骤 2 中的全微分公式。
\[ du = dx + \left( \frac{1}{2} \cos \frac{y}{2} + z e^{yz} \right) dy + y e^{yz} dz \]