题目
空间区域Omega=(x,y,z)|zleqsqrt(4-x^2-y^2),x^2+y^2leq1,zgeq0的体积是A. int_(0)^2pidthetaint_(0)^2rsqrt(4-r^2)drB. 4int_(0)^(pi)/(2)dthetaint_(0)^1rsqrt(4-r^2)drC. int_(0)^2pidthetaint_(0)^2sqrt(4-r^2)drD. 4int_(0)^(pi)/(2)dthetaint_(0)^1sqrt(4-r^2)dr
空间区域$\Omega=\{(x,y,z)\left|z\leq\sqrt{4-x^2-y^2},x^2+y^2\leq1,z\geq0\right\}$的体积是
A. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}r\sqrt{4-r^2}dr$
B. $4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{1}r\sqrt{4-r^2}dr$
C. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}\sqrt{4-r^2}dr$
D. $4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{1}\sqrt{4-r^2}dr$
题目解答
答案
B. $4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{1}r\sqrt{4-r^2}dr$
解析
步骤 1：转换为柱坐标系
将空间区域 $\Omega$ 转换为柱坐标系，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$。 不等式变为： \[ 0 \leq z \leq \sqrt{4 - r^2}, \quad 0 \leq r \leq 1, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi. \]
步骤 2：体积元素
体积元素为 $r \, dz \, dr \, d\theta$，积分得： \[ V = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r \sqrt{4 - r^2} \, dr. \]
步骤 3：利用对称性
利用对称性，可等价表示为： \[ V = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{1} r \sqrt{4 - r^2} \, dr. \]
将空间区域 $\Omega$ 转换为柱坐标系，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$。 不等式变为： \[ 0 \leq z \leq \sqrt{4 - r^2}, \quad 0 \leq r \leq 1, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi. \]
步骤 2：体积元素
体积元素为 $r \, dz \, dr \, d\theta$，积分得： \[ V = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r \sqrt{4 - r^2} \, dr. \]
步骤 3：利用对称性
利用对称性，可等价表示为： \[ V = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{1} r \sqrt{4 - r^2} \, dr. \]