题目
下列叙述不正确的是( ). A.若 (int )_(a)^bf(x)dx=0, () 则在[a,b]上 f(x)=0B.若 (int )_(a)^bf(x)dx=0, () 则在[a,b]上 f(x)=0C.若 (int )_(a)^bf(x)dx=0, () 则在[a,b]上 f(x)=0D.若 (int )_(a)^bf(x)dx=0, () 则在[a,b]上 f(x)=0
下列叙述不正确的是( ).
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
A. 若 ${\int }_{a}^{b}f(x)dx=0$, () 则在[a,b]上 f(x)=0
解析
步骤 1：分析选项A
若 ${\int }_{a}^{b}f(x)dx=0$ ,则在[a,b]上 f(x)=0。这个结论是不正确的。因为一个函数在区间[a,b]上的定积分等于0，并不意味着该函数在[a,b]上处处为0。例如，函数f(x)在[a,b]上可能在某些点上为正，在另一些点上为负，只要这些正负部分的面积相互抵消，定积分就可以等于0。
步骤 2：分析选项B
若f(x)在[a,b]上单调有界,则f(x )在[a,b]上可积。这个结论是正确的。根据黎曼可积的充分条件，如果一个函数在闭区间[a,b]上单调有界，那么它在[a,b]上是黎曼可积的。
步骤 3：分析选项C
若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界。这个结论是正确的。根据黎曼可积的必要条件，如果一个函数在闭区间[a,b]上是黎曼可积的，那么它在[a,b]上必须是有界的。
步骤 4：分析选项D
若f(x)在[a,b]上只有有限个第一类间断点,则f((x)在[a,b]上可积。这个结论是正确的。根据黎曼可积的充分条件，如果一个函数在闭区间[a,b]上只有有限个第一类间断点，那么它在[a,b]上是黎曼可积的。
若 ${\int }_{a}^{b}f(x)dx=0$ ,则在[a,b]上 f(x)=0。这个结论是不正确的。因为一个函数在区间[a,b]上的定积分等于0，并不意味着该函数在[a,b]上处处为0。例如，函数f(x)在[a,b]上可能在某些点上为正，在另一些点上为负，只要这些正负部分的面积相互抵消，定积分就可以等于0。
步骤 2：分析选项B
若f(x)在[a,b]上单调有界,则f(x )在[a,b]上可积。这个结论是正确的。根据黎曼可积的充分条件，如果一个函数在闭区间[a,b]上单调有界，那么它在[a,b]上是黎曼可积的。
步骤 3：分析选项C
若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界。这个结论是正确的。根据黎曼可积的必要条件，如果一个函数在闭区间[a,b]上是黎曼可积的，那么它在[a,b]上必须是有界的。
步骤 4：分析选项D
若f(x)在[a,b]上只有有限个第一类间断点,则f((x)在[a,b]上可积。这个结论是正确的。根据黎曼可积的充分条件，如果一个函数在闭区间[a,b]上只有有限个第一类间断点，那么它在[a,b]上是黎曼可积的。