题目
下列错误的是A. int kf(x)dx = kint f(x)dxB. int[f(x)- g(x)]dx = int f(x)dx - int g(x)dxC. int[f(x)cdot g(x)]dx = int f(x)dx cdot int g(x)dxD. int[f(x)+ g(x)]dx = int f(x)dx + int g(x)dx
下列错误的是
A. $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$
B. $\int[f(x)- g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$
C. $\int[f(x)\cdot g(x)]dx = \int f(x)dx \cdot \int g(x)dx$
D. $\int[f(x)+ g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$
题目解答
答案
C. $\int[f(x)\cdot g(x)]dx = \int f(x)dx \cdot \int g(x)dx$
解析
步骤 1：分析选项 A
选项 A 表示常数 k 可以从积分中提出来，这是积分的一个基本性质，因此这个选项是正确的。
步骤 2：分析选项 B
选项 B 表示两个函数差的积分等于它们积分的差，这也是积分的一个基本性质，因此这个选项是正确的。
步骤 3：分析选项 C
选项 C 表示两个函数乘积的积分等于它们积分的乘积，这不是积分的一个性质，通常不成立。例如，考虑 $f(x) = x$ 和 $g(x) = x$。那么 $\int x \cdot x \, dx = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C$，但是 $\left( \int x \, dx \right) \cdot \left( \int x \, dx \right) = \left( \frac{x^2}{2} + C \right) \cdot \left( \frac{x^2}{2} + C \right) = \frac{x^4}{4} + Cx^2 + C^2$，这与 $\frac{x^3}{3} + C$ 不同。因此，这个选项是错误的。
步骤 4：分析选项 D
选项 D 表示两个函数和的积分等于它们积分的和，这是积分的一个基本性质，因此这个选项是正确的。
选项 A 表示常数 k 可以从积分中提出来，这是积分的一个基本性质，因此这个选项是正确的。
步骤 2：分析选项 B
选项 B 表示两个函数差的积分等于它们积分的差，这也是积分的一个基本性质，因此这个选项是正确的。
步骤 3：分析选项 C
选项 C 表示两个函数乘积的积分等于它们积分的乘积，这不是积分的一个性质，通常不成立。例如，考虑 $f(x) = x$ 和 $g(x) = x$。那么 $\int x \cdot x \, dx = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C$，但是 $\left( \int x \, dx \right) \cdot \left( \int x \, dx \right) = \left( \frac{x^2}{2} + C \right) \cdot \left( \frac{x^2}{2} + C \right) = \frac{x^4}{4} + Cx^2 + C^2$，这与 $\frac{x^3}{3} + C$ 不同。因此，这个选项是错误的。
步骤 4：分析选项 D
选项 D 表示两个函数和的积分等于它们积分的和，这是积分的一个基本性质，因此这个选项是正确的。