1.[单选题]微分方程xy'=y+x²的通解为____A. y=Cx-x²B. y=x+x²+CC. y=C+x²D. y=Cx+x²

本题考查一阶线性微分方程的求解。解题思路是先将给定的微分方程化为一阶线性微分方程的标准形式，然后利用一阶线性微分方程的通解公式进行求解。

步骤一：将原方程化为一阶线性微分方程的标准形式

已知微分方程$xy' = y + x^2$，将其变形为$y'$的表达式：
$y'=\frac{y}{x}+x$
进一步移项得到一阶线性微分方程的标准形式$y' - \frac{1}{x}y = x$。
此时，$P(x)=-\frac{1}{x}$，$Q(x)=x$。

步骤二：计算积分因子$\mu(x)$

根据积分因子公式$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$，计算$\int P(x)dx$：
$\int P(x)dx=\int -\frac{1}{x}dx=-\ln|x|$
则积分因子$\mu(x)=e^{-\ln|x|}=\frac{1}{x}$。

步骤三：求通解

根据一阶线性微分方程的通解公式$y\cdot\mu(x)=\int Q(x)\cdot\mu(x)dx + C$，将$\mu(x)=\frac{1}{x}$，$Q(x)=x$代入可得：
$y\cdot\frac{1}{x}=\int x\cdot\frac{1}{x}dx + C$
先计算积分$\int x\cdot\frac{1}{x}dx$：
$\int x\cdot\frac{1}{x}dx=\int 1dx=x$
则$y\cdot\frac{1}{x}=x + C$。
两边同时乘以$x$，得到通解$y = Cx + x^2$。