函数 z=ln (x+2y) 的定义域为____.A. 无界开区域B. 有界开区域C. 无界闭区域D. 有界闭区域

本题考查函数定义域的类型判断，需明确无界区域、有界区域、开区域、闭区域的定义，并结合对数函数的定义域要求分析。

步骤1：确定函数$z=\ln(x+2y)$的定义域

对数函数$\ln(t)$的定义域为$t>0$，因此对于$z=\ln(x+2y)$，需满足：
$x + 2y > 0$
即定义域为平面上所有满足$x + 2y > 0$的点$(x,y)$构成的集合。

步骤2：判断区域类型

• 有界 vs 无界：若存在$M>0$，使得区域内所有点到原点的距离$\leq M$，则为有界区域；否则为无界区域。
  对于$x + 2y > 0$，取$y=0$，则$x>0$，此时$x$可以无限大（如$(1000,0)$、$(10000,0)$等），故不存在这样的$M$，区域无界。

• 开区域 vs 闭区域：开区域不含边界，闭区域含边界。
  边界为$x + 2y = 0$，定义域$x + 2y > 0$不包含该边界，区域为开区域。

结论

定义域是无界开区域，对应选项A。