题目
【例13】设f((1)/(x)+x)=x^2+(1)/(x^2)+3,则f(x)=_____.
【例13】设$f(\frac{1}{x}+x)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+3$,则f(x)=_____.
题目解答
答案
设 $ y = \frac{1}{x} + x $，则 $ x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2 $。代入原式得：
\[
f(y) = y^2 - 2 + 3 = y^2 + 1
\]
因此，函数 $ f(x) $ 的表达式为：
\[
\boxed{x^2 + 1}
\]
（注：$ y $ 的取值范围为 $ |y| \geq 2 $，但题目要求的是函数表达式，故不需特别注明定义域。）
解析
考查要点：本题主要考查函数的定义与代数恒等式的应用，需要学生通过变量替换，将已知函数表达式转化为关于新变量的表达式。
解题核心思路：
- 变量替换：设中间变量$y = \frac{1}{x} + x$，将原式中的$x$用$y$表示。
- 代数恒等式：利用平方展开公式，将$x^2 + \frac{1}{x^2}$转化为$y^2 - 2$，从而消去原式中的$x$。
- 函数表达式：将转化后的表达式代入原式，直接得到$f(y)$，最后替换变量得到$f(x)$。
破题关键点：
- 识别代数结构：发现$x^2 + \frac{1}{x^2}$与$\left(\frac{1}{x} + x\right)^2$之间的关系。
- 变量替换的合理性：通过中间变量$y$简化表达式，避免直接处理复杂的$x$表达式。
步骤1：设中间变量
令$y = \frac{1}{x} + x$，则原式变为$f(y) = x^2 + \frac{1}{x^2} + 3$。
步骤2：代数恒等式转化
利用平方展开公式：
$\left(\frac{1}{x} + x\right)^2 = \frac{1}{x^2} + 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot x + x^2 = \frac{1}{x^2} + 2 + x^2$
因此，
$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(\frac{1}{x} + x\right)^2 - 2 = y^2 - 2$
步骤3：代入原式
将$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$代入原式：
$f(y) = (y^2 - 2) + 3 = y^2 + 1$
步骤4：确定函数表达式
将变量$y$替换为$x$，得到：
$f(x) = x^2 + 1$