题目
填空题（7分） 某衣帽厂有甲、乙、丙三个工作间生产同一种衣服，已知各个工作间的产量分别占全厂产量的25%、35%、40%，甲、乙、丙工作间的次品率为5%、4%、2%，现在从衣帽厂中检查出一个次品，是由甲工作间生产的概率是多少。 设A、B、C为甲、乙、丙生产的商品，D表示次品 P(A)=25%，P(B)=35%，P(C)=40% P(D|A.)=___P(D|B.)=___P(D|C.)=__ P(A|D.)=__
填空题（7分） 某衣帽厂有甲、乙、丙三个工作间生产同一种衣服，已知各个工作间的产量分别占全厂产量的25%、35%、40%，甲、乙、丙工作间的次品率为5%、4%、2%，现在从衣帽厂中检查出一个次品，是由甲工作间生产的概率是多少。 设A、B、C为甲、乙、丙生产的商品，D表示次品 P(A)=25%，P(B)=35%，P(C)=40% $P(D|
A.)=\_\_\_P(D|
B.)=\_\_\_P(D|
C.)=\_\_$ $P(A|
D.)=\_\_$
A.)=\_\_\_P(D|
B.)=\_\_\_P(D|
C.)=\_\_$ $P(A|
D.)=\_\_$
题目解答
答案
已知条件：
- $P(A) = 0.25$，$P(B) = 0.35$，$P(C) = 0.40$
- $P(D|A) = 0.05$，$P(D|B) = 0.04$，$P(D|C) = 0.02$
计算全厂次品率 $P(D)$：
\[
P(D) = 0.05 \times 0.25 + 0.04 \times 0.35 + 0.02 \times 0.40 = 0.0345
\]
应用贝叶斯定理求 $P(A|D)$：
\[
P(A|D) = \frac{P(D|A)P(A)}{P(D)} = \frac{0.05 \times 0.25}{0.0345} = \frac{25}{69}
\]
答案：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
P(D|A) = 0.05, \\
P(D|B) = 0.04, \\
P(D|C) = 0.02, \\
P(A|D) = \frac{25}{69}.
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查条件概率和贝叶斯定理的应用，涉及全厂次品率的计算及逆向概率求解。
解题核心思路：
- 明确条件概率关系：题目中给出各工作间的产量占比（先验概率）和次品率（条件概率），需先确定各部分的次品贡献。
- 计算全厂次品率：通过加权求和得到总次品率。
- 应用贝叶斯定理：将先验概率与条件概率结合，求出已知次品时来自甲工作间的后验概率。
破题关键点：
- 区分条件概率与逆向概率：注意区分$P(D|A)$（甲的次品率）与$P(A|D)$（次品来自甲的概率）。
- 正确加权求和：全厂次品率需按产量比例对各工作间的次品率进行加权。
步骤1：确定条件概率
根据题意：
- 甲、乙、丙的次品率分别为$P(D|A)=5\%=0.05$，$P(D|B)=4\%=0.04$，$P(D|C)=2\%=0.02$。
步骤2：计算全厂次品率$P(D)$
全厂次品率是各工作间次品率的加权平均：
$\begin{aligned}P(D) &= P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C) \\&= 0.05 \times 0.25 + 0.04 \times 0.35 + 0.02 \times 0.40 \\&= 0.0125 + 0.014 + 0.008 \\&= 0.0345.\end{aligned}$
步骤3：应用贝叶斯定理求$P(A|D)$
根据贝叶斯定理：
$\begin{aligned}P(A|D) &= \frac{P(D|A)P(A)}{P(D)} \\&= \frac{0.05 \times 0.25}{0.0345} \\&= \frac{0.0125}{0.0345} \\&= \frac{25}{69}.\end{aligned}$