设D是以O为球心且半径为1的球，则三重积分 15iiint_(D)(x^2+y^2)dxdydz= ________ A 5pi B 6pi C 8pi D 7pi

为了求解三重积分 $15\iiint\limits_{D}(x^{2}+y^{2})dxdydz$，其中 $D$ 是以 $O$ 为球心且半径为 1 的球，我们可以使用球坐标系。在球坐标系中，变量 $x$、$y$ 和 $z$ 可以表示为： \[ x = \rho \sin \phi \cos \theta, \] \[ y = \rho \sin \phi \sin \theta, \] \[ z = \rho \cos \phi, \] 其中 $\rho$ 是径向距离，$\phi$ 是极角，$\theta$ 是方位角。球坐标系中的体积元素 $dV$ 为： \[ dV = \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta. \] 球 $D$ 的半径为 1，因此 $\rho$ 的范围是从 0 到 1，$\phi$ 的范围是从 0 到 $\pi$，$\theta$ 的范围是从 0 到 $2\pi$。在球坐标系中，被积函数 $x^2 + y^2$ 可以写为： \[ x^2 + y^2 = (\rho \sin \phi \cos \theta)^2 + (\rho \sin \phi \sin \theta)^2 = \rho^2 \sin^2 \phi (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \rho^2 \sin^2 \phi. \] 因此，三重积分变为： \[ 15\iiint\limits_{D}(x^{2}+y^{2})dxdydz = 15 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \rho^2 \sin^2 \phi \cdot \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta = 15 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \rho^4 \sin^3 \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta. \] 我们首先对 $\rho$ 积分： \[ \int_{0}^{1} \rho^4 \, d\rho = \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}. \] 接下来，我们对 $\phi$ 积分： \[ \int_{0}^{\pi} \sin^3 \phi \, d\phi = \int_{0}^{\pi} \sin \phi (1 - \cos^2 \phi) \, d\phi. \] 设 $u = \cos \phi$，则 $du = -\sin \phi \, d\phi$，当 $\phi = 0$ 时，$u = 1$，当 $\phi = \pi$ 时，$u = -1$。因此，积分变为： \[ \int_{1}^{-1} - (1 - u^2) \, du = \int_{-1}^{1} (1 - u^2) \, du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. \] 最后，我们对 $\theta$ 积分： \[ \int_{0}^{2\pi} \, d\theta = 2\pi. \] 将所有结果组合在一起，我们得到： \[ 15 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{3} \cdot 2\pi = 15 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{3} \cdot 2\pi = 15 \cdot \frac{8\pi}{15} = 8\pi. \] 因此，答案是： \[ \boxed{C} \]