4 单选 (4分)-|||-设函数 =ln dfrac (sqrt {{x)^2+1}}(sqrt [3]{x+2)}(xgt -2), 则 '(0)=-|||-A. -dfrac (1)(6)-|||-B. dfrac (1)(6)-|||-二 C. dfrac (2)(3)-|||-D. -dfrac (1)(3)

考查要点：本题主要考查复合函数的求导法则，特别是自然对数函数与根式复合时的导数计算。关键在于正确拆分对数表达式，并应用导数的线性性质简化计算。

解题思路：

1. 拆分对数表达式：利用对数性质 $\ln \frac{A}{B} = \ln A - \ln B$，将原函数转化为两个对数函数的线性组合。
2. 逐项求导：分别对拆分后的两部分求导，注意应用链式法则处理复合函数。
3. 代入计算：将 $x=0$ 代入导数表达式，注意分母不为零的条件。

步骤1：拆分对数表达式

原函数为：
$y = \ln \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt[3]{x + 2}} = \ln \left( (x^2 + 1)^{1/2} \cdot (x + 2)^{-1/3} \right)$
利用对数性质拆分：
$y = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) - \frac{1}{3} \ln(x + 2)$

步骤2：逐项求导

1. 第一项导数：
   $\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{x}{x^2 + 1}$
2. 第二项导数：
   $\frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{3} \ln(x + 2) \right) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x + 2}$

步骤3：合并导数表达式

$y' = \frac{x}{x^2 + 1} - \frac{1}{3(x + 2)}$

步骤4：代入 $x = 0$

$y'(0) = \frac{0}{0^2 + 1} - \frac{1}{3(0 + 2)} = 0 - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6}$