题目
设随机变量 X 的密度函数为 varphi(x) 则 Y = -X 的密度函数为(）.A. p(y)= -varphi(y)B. p(y)= 1 - varphi(y)C. p(y)= varphi(-y)D. p(y)= 1 - varphi(-y)
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $\varphi(x)$ 则 $Y = -X$ 的密度函数为(）.
A. $p(y)= -\varphi(y)$
B. $p(y)= 1 - \varphi(y)$
C. $p(y)= \varphi(-y)$
D. $p(y)= 1 - \varphi(-y)$
题目解答
答案
C. $p(y)= \varphi(-y)$
解析
步骤 1：定义 $Y$ 的分布函数
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $\varphi(x)$，则 $Y = -X$ 的分布函数为： \[ F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X \geq -y) = 1 - F_X(-y) \] 其中，$F_X(x)$ 是 $X$ 的分布函数。
步骤 2：求 $Y$ 的密度函数
对 $F_Y(y)$ 求导得密度函数： \[ \varphi_Y(y) = \frac{d}{dy} [1 - F_X(-y)] = -\frac{d}{dy} F_X(-y) = F_X'(-y) = \varphi(-y) \] 因此，$Y$ 的密度函数为 $\varphi(-y)$。
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $\varphi(x)$，则 $Y = -X$ 的分布函数为： \[ F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X \geq -y) = 1 - F_X(-y) \] 其中，$F_X(x)$ 是 $X$ 的分布函数。
步骤 2：求 $Y$ 的密度函数
对 $F_Y(y)$ 求导得密度函数： \[ \varphi_Y(y) = \frac{d}{dy} [1 - F_X(-y)] = -\frac{d}{dy} F_X(-y) = F_X'(-y) = \varphi(-y) \] 因此，$Y$ 的密度函数为 $\varphi(-y)$。