1.[判断题]若函数f(x,y)在集合S内的点(a,b)处存在最大值，则(f_(x),f_(y))_((a,b))=0.A. 对B. 错

本题考查函数在某点取得最大值时偏导数的性质。解题思路是通过分析函数取得最大值的条件，结合偏导数的定义来判断该命题的正确性。

函数在某点取得最大值，并不一定意味着该点处的偏导数都为$0$。偏导数为$0$只是函数在该点取得极值的必要条件（前提是函数在该点可偏导），但不是充分条件，并且还存在函数在不可偏导的点取得最大值的情况。

下面通过一个反例来进行说明：
考虑函数$f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，集合$S$为整个$\mathbb{R}^{2}$平面。

• 求函数的最大值：
  对于任意的$(x,y)\in\mathbb{R}^{2}$，根据绝对值的性质，$\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geqslant0$，当且仅当$x = 0$且$y = 0$时，$f(0,0)=\sqrt{0^{2}+0^{2}} = 0$，所以函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处取得最小值$0$，同时在整个定义域内，当$(x,y)$趋于无穷远时，$f(x,y)$趋于无穷大，不存在最大值。为了说明问题，我们换个角度，考虑函数$g(x,y)=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，对于任意的$(x,y)\in\mathbb{R}^{2}$，$-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\leqslant0$，当且仅当$x = 0$且$y = 0$时，$g(0,0)=-\sqrt{0^{2}+0^{2}} = 0$，所以函数$g(x,y)$在点$(0,0)$处取得最大值$0$。
• 求函数在点$(0,0)$处的偏导数：
  根据偏导数的定义，函数$g(x,y)$对$x$的偏导数$g_{x}(0,0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{g(0 + \Delta x,0)-g(0,0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{-\sqrt{(\Delta x)^{2}+0^{2}}-0}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{-\vert\Delta x\vert}{\Delta x}$。
  当$\Delta x\to0^{+}$时，$\lim\limits_{\Delta x\to0^{+}}\frac{-\vert\Delta x\vert}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0^{+}}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1$；当$\Delta x\to0^{-}$时，$\lim\limits_{\Delta x\to0^{-}}\frac{-\vert\Delta x\vert}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0^{-}}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$。
  左右极限不相等，所以$g_{x}(0,0)$不存在。同理可得$g_{y}(0,0)$也不存在，即$(g_{x},g_{y})_{(0,0)}\neq(0,0)$。
  这就说明存在函数在某点取得最大值，但该点处的偏导数不为$0$（甚至偏导数不存在）的情况，所以原命题“若函数$f(x,y)$在集合$S$内的点$(a,b)$处存在最大值，则$(f_{x},f_{y})_{(a,b)} = 0$”是错误的。