若线性方程组 } x_1 + ax_2 = 1 x_2 - ax_3 = 1 x_3 - ax_4 = 1 ax_1 + x_4 = a 有无穷多解，则 a= ( )A. 1B. 0C. -1D. -2

本题考查线性方程组有无穷多解的条件，解题思路是先将线性方程组的增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，再根据线性方程组有无穷多解时系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数的个数这一条件来确定参数 $a$ 的值。

步骤一：写出线性方程组的增广矩阵

已知线性方程组$\begin{cases} x_1 + ax_2 = 1 \\ x_2 - ax_3 = 1 \\ x_3 - ax_4 = 1 \\ ax_1 + x_4 = a \end{cases}$，其增广矩阵为$\begin{pmatrix}1&a&0&0&1\\0&1&-a&0&1\\0&0&1&-a&1\\a&0&0&1&a\end{pmatrix}$。

步骤二：对增广矩阵进行初等行变换

将第一行乘以$-a$加到第四行，得到$\begin{pmatrix}1&a&0&0&1\\0&1&-a&0&1\\0&0&1&-a&1\\0&-a^2&0&1&0\end{pmatrix}$。
再将第二行乘以$a^2$加到第四行，得到$\begin{pmatrix}1&a&0&0&1\\0&1&-a&0&1\\0&0&1&-a&1\\0&0&-a^3&1&a^2\end{pmatrix}$。
然后将第三行乘以$a^3$加到第四行，得到$\begin{pmatrix}1&a&0&0&1\\0&1&-a&0&1\\0&0&1&-a&1\\0&0&0&1 - a^4&a^2 + a^3\end{pmatrix}$。

步骤三：根据线性方程组有无穷多解的条件确定 $a$ 的值

因为线性方程组有无穷多解时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数的个数$4$，所以$1 - a^4 = 0$且$a^2 + a^3 = 0$。

• 解方程$1 - a^4 = 0$，即$(1 - a^2)(1 + a^2) = 0$，进一步得到$(1 - a)(1 + a)(1 + a^2) = 0$，解得$a = 1$或$a = -1$。
• 解方程$a^2 + a^3 = 0$，即$a^2(1 + a) = 0$，解得$a = 0$或$a = -1$。

综合两个方程的解，取交集可得$a = -1$。