题目
若x2+y2=13，求2x+3y的最大值．
若x2+y2=13，求2x+3y的最大值．
题目解答
答案
解：由题意，设$\overrightarrow{a}$=（x,y），$\overrightarrow{b}$=（2，3），其中x2+y2=13，
因为不等式|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，
所以2x+3y≤$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$•$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$=$\sqrt{13}$×$\sqrt{13}$=13，
当且仅当$\frac{2}{3}$=$\frac{x}{y}$，即x=2，y=3时取“=”，
所以2x+3y的最大值是13．
因为不等式|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，
所以2x+3y≤$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$•$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$=$\sqrt{13}$×$\sqrt{13}$=13，
当且仅当$\frac{2}{3}$=$\frac{x}{y}$，即x=2，y=3时取“=”，
所以2x+3y的最大值是13．
解析
步骤 1：定义向量
设$\overrightarrow{a}$=（x,y），$\overrightarrow{b}$=（2，3），其中x^{2}+y^{2}=13。
步骤 2：应用柯西-施瓦茨不等式
根据柯西-施瓦茨不等式，有|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|。
步骤 3：计算向量的模
计算$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的模，得到|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$=$\sqrt{13}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$。
步骤 4：计算最大值
根据步骤2和步骤3，得到2x+3y≤$\sqrt{13}$×$\sqrt{13}$=13。
步骤 5：确定取等条件
当且仅当$\frac{2}{3}$=$\frac{x}{y}$，即x=2，y=3时取“=”，此时2x+3y的最大值是13。
设$\overrightarrow{a}$=（x,y），$\overrightarrow{b}$=（2，3），其中x^{2}+y^{2}=13。
步骤 2：应用柯西-施瓦茨不等式
根据柯西-施瓦茨不等式，有|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|。
步骤 3：计算向量的模
计算$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的模，得到|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$=$\sqrt{13}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$。
步骤 4：计算最大值
根据步骤2和步骤3，得到2x+3y≤$\sqrt{13}$×$\sqrt{13}$=13。
步骤 5：确定取等条件
当且仅当$\frac{2}{3}$=$\frac{x}{y}$，即x=2，y=3时取“=”，此时2x+3y的最大值是13。