题目
5.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=}x^2+(1)/(3)xy,&0le xle 1,0le yle 2;0,&其他(y)=_.
5.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为$f(x,y)=\begin{cases}x^{2}+\frac{1}{3}xy,&0\le x\le 1,0\le y\le 2;\\0,&其他\end{cases}$,则(X,Y)关于Y的边缘概率密度$f_{Y}(y)$=_.
题目解答
答案
对联合概率密度 $f(x,y) = x^2 + \frac{1}{3}xy$（当 $0 \le x \le 1$，$0 \le y \le 2$）关于 $x$ 积分，求得 $Y$ 的边缘概率密度：
$$
f_Y(y) = \int_{0}^{1} \left( x^2 + \frac{1}{3}xy \right) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{xy}{6} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + \frac{y}{6}
$$
因此，$Y$ 的边缘概率密度为：
$$
\boxed{
\begin{cases}
\frac{1}{3} + \frac{y}{6}, & 0 \le y \le 2; \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
}
$$
或等价表示为：
$$
\boxed{
\begin{cases}
\frac{1}{6}(2 + y), & 0 \le y \le 2; \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
}
$$
解析
边缘概率密度的求解是本题的核心考查点。关键在于理解边缘密度的定义：对联合密度函数在另一个变量上进行积分。具体来说，求$Y$的边缘密度$f_Y(y)$时，需对$x$在定义域内积分。注意积分区间为$x$的取值范围$[0,1]$，而$y$的有效范围是$[0,2]$，其他情况密度为$0$。
步骤1：写出边缘密度公式
根据定义，$Y$的边缘概率密度为：
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx$
由于$f(x,y)$仅在$0 \le x \le 1$和$0 \le y \le 2$时非零，积分区间简化为：
$f_Y(y) = \begin{cases}\displaystyle \int_{0}^{1} \left( x^2 + \dfrac{1}{3}xy \right) dx, & 0 \le y \le 2; \\0, & \text{其他}\end{cases}$
步骤2：计算积分
将积分拆分为两部分：
- 第一部分：$\displaystyle \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$
- 第二部分：$\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{1}{3}xy \, dx = \dfrac{y}{3} \cdot \int_{0}^{1} x \, dx = \dfrac{y}{3} \cdot \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_0^1 = \dfrac{y}{6}$
合并结果：
$f_Y(y) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{y}{6}$
步骤3：确定分段表达式
当$0 \le y \le 2$时，$f_Y(y) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{y}{6}$；其他情况$f_Y(y) = 0$。也可将表达式变形为：
$f_Y(y) = \dfrac{2 + y}{6}$