(int )_(-2)^2dfrac (x+|x|)(2+{x)^2}dx=

考查要点：本题主要考查定积分的对称性应用及换元积分法。
解题思路：

1. 观察被积函数的奇偶性：当积分区间对称时，若被积函数为奇函数，积分结果为0；若为偶函数，积分可转化为两倍正区间的积分。
2. 简化积分区间：通过分析被积函数在负区间的值为0，将原积分转化为正区间的两倍积分。
3. 换元积分：对简化后的积分使用换元法求解。

步骤1：分析被积函数的对称性

被积函数为 $\dfrac{x + |x|}{2 + x^2}$，当 $x \geq 0$ 时，$|x| = x$，分子为 $x + x = 2x$，此时函数为 $\dfrac{2x}{2 + x^2}$；
当 $x < 0$ 时，$|x| = -x$，分子为 $x + (-x) = 0$，此时函数值为0。
因此，原积分可简化为：
$\int_{-2}^{2} \dfrac{x + |x|}{2 + x^2} dx = \int_{-2}^{0} 0 \, dx + \int_{0}^{2} \dfrac{2x}{2 + x^2} dx = 2 \int_{0}^{2} \dfrac{x}{2 + x^2} dx$

步骤2：换元积分

令 $u = 2 + x^2$，则 $du = 2x dx$，即 $x dx = \dfrac{du}{2}$。
当 $x = 0$ 时，$u = 2$；当 $x = 2$ 时，$u = 6$。
积分变为：
$\int_{0}^{2} \dfrac{x}{2 + x^2} dx = \int_{2}^{6} \dfrac{1}{u} \cdot \dfrac{du}{2} = \dfrac{1}{2} \int_{2}^{6} \dfrac{1}{u} du = \dfrac{1}{2} \left[ \ln |u| \right]_{2}^{6} = \dfrac{1}{2} (\ln 6 - \ln 2)$

步骤3：计算最终结果

将结果代入原式：
$2 \cdot \dfrac{1}{2} (\ln 6 - \ln 2) = \ln 6 - \ln 2 = \ln \dfrac{6}{2} = \ln 3$