题目
病树的主人外出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率为0.8，若浇水则树死去的概率为0.15，有0.9的把握确定邻居会记得浇水。(1)求主人回来树还活着的概率；(2)若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率。
病树的主人外出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率为$$0.8$$，若浇水则树死去的概率为$$0.15$$，有$$0.9$$的把握确定邻居会记得浇水。
(1)求主人回来树还活着的概率；
(2)若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率。
题目解答
答案
(1)邻居浇水树死: $$0.9\times 0.15=0.135$$,
邻居不浇水树死: $$0.1\times 0.8=0.08$$,
死亡概率共: $$0.135+0.08=0.215$$,
则存活概率: $$1-0.215=0.785$$,
主人回来树还活着的概率为$$0.785$$.
(2)邻居忘记浇水的概率为:$$\frac{0.1\times 0.8}{0.215}=\frac{16}{43}$$
解析
考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的理解与计算。
解题核心思路：
- 问题（1）：通过划分邻居是否浇水两种互斥情况，计算树死亡的总概率，再用1减去得到存活概率。
- 问题（2）：已知树死亡的情况下，求邻居忘记浇水的概率，需用贝叶斯定理计算后验概率。
破题关键点：
- 明确事件关系：邻居浇水与否是互斥且完备的事件集。
- 正确应用公式：全概率公式计算总死亡概率，贝叶斯定理计算条件概率。
第（1）题
步骤1：划分情况
邻居的行为分为两种情况：
- 浇水（概率 $0.9$），此时树死亡的概率为 $0.15$。
- 不浇水（概率 $0.1$），此时树死亡的概率为 $0.8$。
步骤2：计算死亡概率
- 浇水导致死亡的概率：
$0.9 \times 0.15 = 0.135$ - 不浇水导致死亡的概率：
$0.1 \times 0.8 = 0.08$
步骤3：总死亡概率
$0.135 + 0.08 = 0.215$
步骤4：存活概率
$1 - 0.215 = 0.785$
第（2）题
步骤1：确定已知条件
- 树死亡的总概率 $P(B) = 0.215$（来自第（1）题）。
- 邻居忘记浇水且树死亡的概率 $P(A \cap B) = 0.1 \times 0.8 = 0.08$。
步骤2：应用贝叶斯定理
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.08}{0.215} = \frac{16}{43}$