3、已知函数 =(x)^2cos 2x+arctan (e)^x, 求y`。

考查要点：本题主要考查复合函数的求导法则，包括乘积法则和链式法则的应用，以及对反三角函数导数公式的掌握。

解题核心思路：

1. 分解函数结构：将函数拆分为两个部分，即$x^2\cos 2x$和$\arctan e^x$，分别求导后再相加。
2. 分步应用求导法则：
   • 第一部分：使用乘积法则对$x^2\cos 2x$求导，其中$\cos 2x$的导数需用链式法则。
   • 第二部分：直接应用$\arctan u$的导数公式，并结合链式法则对$e^x$求导。

破题关键点：

• 正确识别复合结构，避免漏乘导数链中的因子（如$\cos 2x$中的$2$）。
• 准确记忆导数公式，尤其是$\arctan u$的导数形式。

第一部分：$x^2\cos 2x$的导数

1. 乘积法则：设$u = x^2$，$v = \cos 2x$，则
   $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$
2. 计算$u'$和$v'$：
   • $u' = 2x$
   • $v' = \frac{d}{dx}(\cos 2x) = -\sin 2x \cdot \frac{d}{dx}(2x) = -2\sin 2x$（链式法则）
3. 代入公式：
   $\frac{d}{dx}(x^2\cos 2x) = 2x \cos 2x + x^2(-2\sin 2x) = 2x\cos 2x - 2x^2\sin 2x$

第二部分：$\arctan e^x$的导数

1. 链式法则：设$u = e^x$，则
   $\frac{d}{dx}(\arctan u) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$
2. 计算导数：
   $\frac{d}{dx}(\arctan e^x) = \frac{1}{1+e^{2x}} \cdot e^x = \frac{e^x}{1+e^{2x}}$

合并结果

将两部分导数相加：
$y' = (2x\cos 2x - 2x^2\sin 2x) + \frac{e^x}{1+e^{2x}}$