题目
求极限lim _(xarrow 0)cot x(dfrac (1)(x)-dfrac (1)(sin x))-|||-__解法如下，原式lim _(xarrow 0)cot x(dfrac (1)(x)-dfrac (1)(sin x))-|||-__lim _(xarrow 0)cot x(dfrac (1)(x)-dfrac (1)(sin x))-|||-__lim _(xarrow 0)cot x(dfrac (1)(x)-dfrac (1)(sin x))-|||-__A.对 B.错
求极限
解法如下，原式
A.对 B.错
题目解答
答案
解：
先对极限式进行变形，根据
并进行通分，变成，相乘后得到
，再结合
等价无穷小的替换
，
为
型未定式，根据洛必达法则，对分子分母同时求导，变为
，结合等价无穷小的替换，当
时，
，原式应变为
，约去非零因子
，得到极限值为
，故答案选B
解析
步骤 1：变形
原式$=\lim _{x\rightarrow 0}\cot x(\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{\sin x})$，根据$\cot x=\dfrac {\cos x}{\sin x}$，并进行通分，得到$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x}{\sin x}\cdot \dfrac {\sin x-x}{x\sin x}$。
步骤 2：化简
化简后得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x(\sin x-x)}{x{\sin }^{2}x}$，再结合$\lim _{x\rightarrow 0}\cos x=1$，$\sin x\sim x$，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {(\sin x-x)}{{x}^{3}}$。
步骤 3：洛必达法则
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {(\sin x-x)}{{x}^{3}}$为$\dfrac {0}{0}$型未定式，根据洛必达法则，对分子分母同时求导，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x-1}{3{x}^{2}}$。
步骤 4：等价无穷小替换
结合等价无穷小的替换，当$x\rightarrow 0$时，$\cos x-1\sim -\dfrac {1}{2}{x}^{2}$，原式应变为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-\dfrac {1}{2}{x}^{2}}{3{x}^{2}}$，约去非零因子，得到极限值为$-\dfrac {1}{6}$。
原式$=\lim _{x\rightarrow 0}\cot x(\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{\sin x})$，根据$\cot x=\dfrac {\cos x}{\sin x}$，并进行通分，得到$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x}{\sin x}\cdot \dfrac {\sin x-x}{x\sin x}$。
步骤 2：化简
化简后得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x(\sin x-x)}{x{\sin }^{2}x}$，再结合$\lim _{x\rightarrow 0}\cos x=1$，$\sin x\sim x$，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {(\sin x-x)}{{x}^{3}}$。
步骤 3：洛必达法则
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {(\sin x-x)}{{x}^{3}}$为$\dfrac {0}{0}$型未定式，根据洛必达法则，对分子分母同时求导，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x-1}{3{x}^{2}}$。
步骤 4：等价无穷小替换
结合等价无穷小的替换，当$x\rightarrow 0$时，$\cos x-1\sim -\dfrac {1}{2}{x}^{2}$，原式应变为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-\dfrac {1}{2}{x}^{2}}{3{x}^{2}}$，约去非零因子，得到极限值为$-\dfrac {1}{6}$。