5.(判断题，20分)集合S=(x_{1),x_(2),...,x_(n))|x_(n)=lambda x_(1),lambdain R}不是向量空间.A. 对B. 错

本题考查向量空间的定义及判定。解题思路是根据向量空间的定义，判断集合$S=\{(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})|x_{n}=\lambda x_{1},\lambda\in R\}$是否满足向量加法和数乘运算的封闭性。

1. 验证向量加法封闭性

设$\boldsymbol{\alpha}=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\in S$，$\boldsymbol{\beta}=(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})\in S$。
因为$\boldsymbol{\alpha}\in S$，所以$x_{n}=\lambda_{1}x_{1}$，$\lambda_{1}\in R$；因为$\boldsymbol{\beta}\in S$，所以$y_{n}=\lambda_{2}y_{1}$，$\lambda_{2}\in R$。
计算$\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=(x_{1} + y_{1},x_{2} + y_{2},\cdots,x_{n} + y_{n})$，其第$n$个分量为$x_{n}+y_{n}$。
将$x_{n}=\lambda_{1}x_{1}$，$y_{n}=\lambda_{2}y_{1}$代入可得：
$x_{n}+y_{n}=\lambda_{1}x_{1}+\lambda_{2}y_{1}$
而$(x_{1} + y_{1})$的$\lambda$倍为$\lambda(x_{1} + y_{1})=\lambda x_{1}+\lambda y_{1}$。
令$\lambda=\lambda_{1}=\lambda_{2}$，则$x_{n}+y_{n}=\lambda(x_{1} + y_{1})$，这表明$\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\in S$，所以集合$S$对向量加法封闭。

2. 验证数乘运算封闭性

设$\boldsymbol{\alpha}=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\in S$，$k\in R$。
因为$\boldsymbol{\alpha}\in S$，所以$x_{n}=\lambda x_{1}$，$\lambda\in R$。
计算$k\boldsymbol{\alpha}=(kx_{1},kx_{2},\cdots,kx_{n})$，其第$n$个分量为$kx_{n}$。
将$x_{n}=\lambda x_{1}$代入可得：
$kx_{n}=k(\lambda x_{1})=(k\lambda)x_{1}$
令$\mu = k\lambda$，因为$k\in R$，$\lambda\in R$，所以$\mu\in R$，则$kx_{n}=\mu x_{1}$，这表明$k\boldsymbol{\alpha}\in S$，所以集合$S$对数乘运算封闭。

由于集合$S$满足向量加法和数乘运算的封闭性，所以集合$S$是向量空间，故题目说法错误。