题目
3-22 一物体在介质中按规律 =c(t)^3 作直线运动,c为一常量.设介质对物-|||-体的阻力正比于速度的二次方.试求物体由 _(0)=0 运动到 =1 时,阻力所做的功.-|||-(已知阻力系数为k.)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定物体的速度
根据运动学方程 $x = c{t}^{3}$，我们可以通过对时间 $t$ 求导来确定物体的速度 $v$。
$$ v = \frac{dx}{dt} = 3c{t}^{2} $$
步骤 2：确定阻力的大小
根据题目条件，阻力正比于速度的二次方，即 $F = k{v}^{2}$。将步骤 1 中得到的速度代入，得到阻力的大小。
$$ F = k(3c{t}^{2})^{2} = 9k{c}^{2}{t}^{4} $$
步骤 3：将阻力的大小表示为位置的函数
由于 $x = c{t}^{3}$，可以解出 $t = (x/c)^{1/3}$，将 $t$ 的表达式代入阻力的大小公式中，得到阻力的大小关于位置 $x$ 的函数。
$$ F = 9k{c}^{2}((x/c)^{1/3})^{4} = 9k{c}^{2/3}{x}^{4/3} $$
步骤 4：计算阻力所做的功
阻力所做的功等于阻力与位移的乘积，即 $W = -\int F dx$，其中负号表示阻力与位移方向相反。将步骤 3 中得到的阻力的大小关于位置 $x$ 的函数代入，计算从 $x_0 = 0$ 到 $x = 1$ 的积分。
$$ W = -\int_{0}^{1} 9k{c}^{2/3}{x}^{4/3} dx = -9k{c}^{2/3} \int_{0}^{1} {x}^{4/3} dx = -9k{c}^{2/3} \left[ \frac{3}{7} {x}^{7/3} \right]_{0}^{1} = -\frac{27}{7} k{c}^{2/3} $$
根据运动学方程 $x = c{t}^{3}$，我们可以通过对时间 $t$ 求导来确定物体的速度 $v$。
$$ v = \frac{dx}{dt} = 3c{t}^{2} $$
步骤 2：确定阻力的大小
根据题目条件，阻力正比于速度的二次方，即 $F = k{v}^{2}$。将步骤 1 中得到的速度代入，得到阻力的大小。
$$ F = k(3c{t}^{2})^{2} = 9k{c}^{2}{t}^{4} $$
步骤 3：将阻力的大小表示为位置的函数
由于 $x = c{t}^{3}$，可以解出 $t = (x/c)^{1/3}$，将 $t$ 的表达式代入阻力的大小公式中，得到阻力的大小关于位置 $x$ 的函数。
$$ F = 9k{c}^{2}((x/c)^{1/3})^{4} = 9k{c}^{2/3}{x}^{4/3} $$
步骤 4：计算阻力所做的功
阻力所做的功等于阻力与位移的乘积，即 $W = -\int F dx$，其中负号表示阻力与位移方向相反。将步骤 3 中得到的阻力的大小关于位置 $x$ 的函数代入，计算从 $x_0 = 0$ 到 $x = 1$ 的积分。
$$ W = -\int_{0}^{1} 9k{c}^{2/3}{x}^{4/3} dx = -9k{c}^{2/3} \int_{0}^{1} {x}^{4/3} dx = -9k{c}^{2/3} \left[ \frac{3}{7} {x}^{7/3} \right]_{0}^{1} = -\frac{27}{7} k{c}^{2/3} $$