设 β_1=α_1+α_2，β_2=α_2+α_3 ,β_3=α_3+α_4 ,β_4=α_4+α_1,证明向量组 β_1,β_2, β_3,β_4线性相关。

考查要点：本题主要考查向量组线性相关的判定方法，特别是通过寻找非零系数组合使得线性组合为零的方法。

解题核心思路：
通过观察题目中给出的四个向量$\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$的表达式，尝试通过加减操作构造出一个非平凡的线性组合等于零。关键在于发现各$\beta$之间的依赖关系，从而找到对应的系数。

破题关键点：

1. 联立表达式：将四个$\beta$的表达式联立，寻找可能的抵消项。
2. 交替加减：通过交替加减$\beta$向量，使得中间项$\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$相互抵消，最终得到$\alpha_1$和$\alpha_4$的抵消。

步骤1：写出各$\beta$的表达式
根据题意：
$\begin{aligned}\beta_1 &= \alpha_1 + \alpha_2, \\\beta_2 &= \alpha_2 + \alpha_3, \\\beta_3 &= \alpha_3 + \alpha_4, \\\beta_4 &= \alpha_4 + \alpha_1.\end{aligned}$

步骤2：构造线性组合
尝试对$\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$进行加减操作：

1. 计算$\beta_1 - \beta_2$：
   $\beta_1 - \beta_2 = (\alpha_1 + \alpha_2) - (\alpha_2 + \alpha_3) = \alpha_1 - \alpha_3.$
2. 加上$\beta_3$：
   $(\beta_1 - \beta_2) + \beta_3 = (\alpha_1 - \alpha_3) + (\alpha_3 + \alpha_4) = \alpha_1 + \alpha_4.$
3. 减去$\beta_4$：
   $(\beta_1 - \beta_2 + \beta_3) - \beta_4 = (\alpha_1 + \alpha_4) - (\alpha_4 + \alpha_1) = 0.$

步骤3：得出线性相关关系
通过上述操作，得到：
$\beta_1 - \beta_2 + \beta_3 - \beta_4 = 0.$
这表明存在不全为零的系数$k_1=1, k_2=-1, k_3=1, k_4=-1$，使得线性组合为零，因此向量组$\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$线性相关。