题目

设 A, B 均是 n 阶矩阵，且 AB = E, BC = 2E，则 (A - C)^2 cdot B = ( ) A. (C)/(2)B. (A)/(2)C. 2AD. 2C

设 $A, B$ 均是 $n$ 阶矩阵，且 $AB = E, BC = 2E$，则 $(A - C)^2 \cdot B = (\quad)$

  • A. $\frac{C}{2}$
  • B. $\frac{A}{2}$
  • C. $2A$
  • D. $2C$

题目解答

答案

由已知条件 $AB = E$ 和 $BC = 2E$，可得 $B^{-1} = A$，从而 $C = 2A$。 代入表达式得： \[ (A - C)^2 B = (A - 2A)^2 B = (-A)^2 B = A^2 B. \] 利用 $AB = E$，有 $A^2 B = A(AB) = A$。 又因为 $C = 2A$，所以 $A = \frac{C}{2}$，即 \[ A^2 B = \frac{C}{2}. \] 因此，答案为 $\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查矩阵的逆运算、矩阵乘法的结合律以及代数式的化简能力。

解题核心思路：

  1. 利用已知条件推导矩阵关系：由 $AB = E$ 可得 $B = A^{-1}$，再结合 $BC = 2E$ 推出 $C = 2A$。
  2. 代数式展开与化简：将 $(A - C)^2 \cdot B$ 展开并代入 $C = 2A$，利用矩阵乘法的结合律逐步化简。
  3. 替换变量：最终结果需用选项中的变量表示，需将 $A$ 用 $C$ 表示（因 $C = 2A$）。

破题关键点：

  • 矩阵逆运算的应用：通过 $AB = E$ 确定 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵。
  • 代数式化简技巧：合理展开平方项并结合已知条件逐步简化表达式。

步骤1：推导矩阵关系
由 $AB = E$，可知 $B = A^{-1}$。
将 $B = A^{-1}$ 代入 $BC = 2E$，得：
$A^{-1}C = 2E \implies C = 2A.$

步骤2：代入并展开表达式
将 $C = 2A$ 代入 $(A - C)^2 \cdot B$：
$\begin{aligned}(A - C)^2 \cdot B &= (A - 2A)^2 \cdot B \\&= (-A)^2 \cdot B \\&= A^2 \cdot B.\end{aligned}$

步骤3：化简矩阵乘法
利用 $AB = E$，进一步化简：
$\begin{aligned}A^2 \cdot B &= A \cdot (A \cdot B) \\&= A \cdot E \\&= A.\end{aligned}$

步骤4：替换变量
因 $C = 2A$，故 $A = \frac{C}{2}$，代入得：
$A = \frac{C}{2}.$