5.计算 int (sqrt (x)+sin sqrt (x))dx

步骤 1：代换
设 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t dt$。
步骤 2：代入
将 $t$ 和 $dx$ 代入原积分，得到 $\int (\sqrt{x} + \sin \sqrt{x}) dx = \int (t + \sin t) 2t dt$。
步骤 3：展开
将积分展开为 $\int 2t^2 dt + \int 2t \sin t dt$。
步骤 4：计算第一个积分
$\int 2t^2 dt = \frac{2}{3}t^3 + C_1$。
步骤 5：计算第二个积分
使用分部积分法，设 $u = t$，$dv = \sin t dt$，则 $du = dt$，$v = -\cos t$。
$\int 2t \sin t dt = 2 \int t \sin t dt = 2(-t \cos t + \int \cos t dt) = -2t \cos t + 2 \sin t + C_2$。
步骤 6：合并结果
将两个积分的结果合并，得到 $\frac{2}{3}t^3 - 2t \cos t + 2 \sin t + C$。
步骤 7：回代
将 $t = \sqrt{x}$ 回代，得到 $\frac{2}{3}x^{3/2} - 2\sqrt{x} \cos \sqrt{x} + 2 \sin \sqrt{x} + C$。