8.方程xlnx dy+(y-ln x) dx=0满足初始条件y|_(x=e)=1的特解为____.

为了解方程 $x \ln x \, dy + (y - \ln x) \, dx = 0$ 并满足初始条件 $y|_{x=e} = 1$，我们将按照以下步骤进行： 1. **将方程重写为标准形式：** 给定的方程是： \[ x \ln x \, dy + (y - \ln x) \, dx = 0 \] 我们可以重新排列它以隔离 $dy$： \[ x \ln x \, dy = - (y - \ln x) \, dx \] 将两边除以 $dx$，我们得到： \[ x \ln x \frac{dy}{dx} = - (y - \ln x) \] 或者等价地： \[ \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \ln x} = \frac{\ln x}{x \ln x} \] 简化右边，我们有： \[ \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \ln x} = \frac{1}{x} \] 这是一个一阶线性微分方程，形式为： \[ \frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \] 其中 $P(x) = \frac{1}{x \ln x}$ 和 $Q(x) = \frac{1}{x}$。 2. **找到积分因子：** 一阶线性微分方程的积分因子 $\mu(x)$ 由下式给出： \[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} \] 这里，$P(x) = \frac{1}{x \ln x}$，所以： \[ \mu(x) = e^{\int \frac{1}{x \ln x} \, dx} \] 为了解积分 $\int \frac{1}{x \ln x} \, dx$，我们使用代换 $u = \ln x$，因此 $du = \frac{1}{x} \, dx$。那么积分变为： \[ \int \frac{1}{x \ln x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| = \ln |\ln x| \] 因此，积分因子是： \[ \mu(x) = e^{\ln |\ln x|} = \ln x \] 3. **将微分方程乘以积分因子：** 将方程 $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \ln x} = \frac{1}{x}$ 乘以 $\ln x$，我们得到： \[ \ln x \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \frac{\ln x}{x} \] 左边是乘积 $y \ln x$ 的导数： \[ \frac{d}{dx} (y \ln x) = \ln x \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} \] 所以方程变为： \[ \frac{d}{dx} (y \ln x) = \frac{\ln x}{x} \] 4. **对两边进行积分：** 对 $x$ 积分两边，我们得到： \[ y \ln x = \int \frac{\ln x}{x} \, dx \] 再次使用代换 $u = \ln x$，因此 $du = \frac{1}{x} \, dx$，积分变为： \[ \int \frac{\ln x}{x} \, dx = \int u \, du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\ln x)^2}{2} + C \] 因此，我们有： \[ y \ln x = \frac{(\ln x)^2}{2} + C \] 解出 $y$，我们得到： \[ y = \frac{\ln x}{2} + \frac{C}{\ln x} \] 5. **应用初始条件：** 初始条件是 $y|_{x=e} = 1$。将 $x = e$ 和 $y = 1$ 代入解中，我们得到： \[ 1 = \frac{\ln e}{2} + \frac{C}{\ln e} = \frac{1}{2} + C \] 解出 $C$，我们得到： \[ C = \frac{1}{2} \] 因此，特解是： \[ y = \frac{\ln x}{2} + \frac{1}{2 \ln x} \] 或者等价地： \[ y = \frac{\ln x}{2} + \frac{1}{2 \ln x} \] 最终答案是： \[ \boxed{y \ln x = \frac{1}{2} \ln^2 x + \frac{1}{2}} \]