以下哪些选项是函数在某点连续的必要条件？A. 函数在该点有定义B. 函数在该点的极限存在C. 函数在该点的左右极限相等D. 函数在该点的极限值等于函数值

本题考查函数在某点连续的必要条件这一知识点。解题思路是依据函数在某点连续的定义，逐一分析每个选项是否为函数在该点连续的必要条件。

函数在某点连续的定义

设函数$y = f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，那么就称函数$y = f(x)$在点$x_0$连续。

对各选项的分析

• 选项A：函数在该点有定义
  根据函数在某点连续的定义$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，等式右边的$f(x_0)$就表明函数$f(x)$在点$x_0$处是有定义的。若函数在该点无定义，就不存在$f(x_0)$，也就不满足连续的定义，所以函数在该点有定义是函数在该点连续的必要条件。
• 选项B：函数在该点的极限存在
  同样依据函数在某点连续的定义$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，等式左边$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$表示函数$f(x)$在$x\to x_0$时的极限。若极限不存在，就无法满足$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，所以函数在该点的极限存在是函数在该点连续的必要条件。
• 选项C：函数在该点的左右极限相等
  函数在某点的左右极限相等只是函数在该点极限存在的一个条件，即$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$时，$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$才存在。但仅左右极限相等，并不能保证函数在该点连续，因为还需要满足极限值等于函数值。例如函数$f(x)=\begin{cases}x + 1, & x\neq 0 \\ 0, & x = 0\end{cases}$，$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^-} (x + 1)=1$，$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^+} (x + 1)=1$，左右极限相等，但$f(0)=0$，$\lim\limits_{x \to 0} f(x)=1\neq f(0)$，函数在$x = 0$处不连续，所以函数在该点的左右极限相等不是函数在该点连续的必要条件。
• 选项D：函数在该点的极限值等于函数值
  这正是函数在某点连续的定义$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，所以函数在该点的极限值等于函数值是函数在该点连续的必要条件。