19.（5.0分）求不定积分int(x)/(1+cos x)dx.

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，涉及三角恒等式的应用和分部积分法的综合运用。关键在于将分母中的三角函数表达式进行恒等变形，简化积分形式，再通过分部积分逐步求解。

解题思路：

1. 利用三角恒等式将分母$1+\cos x$转化为$2\cos^2\frac{x}{2}$，简化被积函数。
2. 分部积分法：通过合理选择$u$和$dv$，将原积分转化为更易处理的形式。
3. 处理剩余积分：对分部积分后得到的$\int \tan\frac{x}{2}dx$进行计算，并结合对数恒等式整理最终结果。

步骤1：应用三角恒等式

利用恒等式$1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$，原积分变为：
$\int \frac{x}{2\cos^2\frac{x}{2}}dx = \frac{1}{2}\int x \sec^2\frac{x}{2}dx.$

步骤2：分部积分法

设$u = x$，则$du = dx$；设$dv = \sec^2\frac{x}{2}dx$，则$v = \tan\frac{x}{2}$（因$\int \sec^2\frac{x}{2}dx = 2\tan\frac{x}{2}$）。
根据分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得：
$\frac{1}{2}\left( x\tan\frac{x}{2} - \int \tan\frac{x}{2}dx \right).$

步骤3：计算剩余积分

计算$\int \tan\frac{x}{2}dx$：
令$u = \frac{x}{2}$，则$du = \frac{dx}{2}$，即$dx = 2du$，积分变为：
$\int \tan u \cdot 2du = 2\int \tan u \, du = -2\ln|\cos u| + C = -2\ln\left|\cos\frac{x}{2}\right| + C.$

步骤4：整理结果

将结果代入原式：
$\frac{1}{2}x\tan\frac{x}{2} - \frac{1}{2}\left(-2\ln\left|\cos\frac{x}{2}\right|\right) + C = x\tan\frac{x}{2} + 2\ln\left|\cos\frac{x}{2}\right| + C.$
进一步利用恒等式$1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$，可将结果等价表示为：
$x\tan\frac{x}{2} + \ln(1+\cos x) + C.$