题目
试应用 -8 定义证明:-|||-lim _(x,y))(0,0)dfrac ({x)^2y}({x)^2+(y)^2}=0.
题目解答
答案
解析
步骤 1：不等式推导
对任意的 $x$ 和 $y$，有 ${x}^{2}+{y}^{2}\geqslant 2|x|\cdot |y|$。这是因为根据算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式），对于非负实数 $a$ 和 $b$，有 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$，取 $a = x^2$ 和 $b = y^2$，则有 $\frac{x^2 + y^2}{2} \geq \sqrt{x^2y^2} = |xy|$，即 $x^2 + y^2 \geq 2|xy|$。
步骤 2：绝对值不等式
根据步骤 1 的不等式，可以得到 $\dfrac {{x}^{2}y}{{x}^{2}+{y}^{2}}-0|=\dfrac {{x}^{2}|y|}{{x}^{2}+{y}^{2}}\leqslant \dfrac {1}{2}|x|$。这是因为 $\dfrac {{x}^{2}|y|}{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 的分母大于等于 $2|x||y|$，所以该表达式小于等于 $\dfrac {1}{2}|x|$。
步骤 3：极限定义
对于任意的 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = 2\varepsilon$，则当 $0 < |x| < \delta$ 和 $0 < |y| < \delta$ 时，就有 $\dfrac {{x}^{2}y}{{x}^{2}+{y}^{2}}-0|\lt \varepsilon$。这是因为根据步骤 2 的不等式，$\dfrac {{x}^{2}|y|}{{x}^{2}+{y}^{2}}\leqslant \dfrac {1}{2}|x|$，而 $|x| < \delta = 2\varepsilon$，所以 $\dfrac {1}{2}|x| < \varepsilon$。
对任意的 $x$ 和 $y$，有 ${x}^{2}+{y}^{2}\geqslant 2|x|\cdot |y|$。这是因为根据算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式），对于非负实数 $a$ 和 $b$，有 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$，取 $a = x^2$ 和 $b = y^2$，则有 $\frac{x^2 + y^2}{2} \geq \sqrt{x^2y^2} = |xy|$，即 $x^2 + y^2 \geq 2|xy|$。
步骤 2：绝对值不等式
根据步骤 1 的不等式，可以得到 $\dfrac {{x}^{2}y}{{x}^{2}+{y}^{2}}-0|=\dfrac {{x}^{2}|y|}{{x}^{2}+{y}^{2}}\leqslant \dfrac {1}{2}|x|$。这是因为 $\dfrac {{x}^{2}|y|}{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 的分母大于等于 $2|x||y|$，所以该表达式小于等于 $\dfrac {1}{2}|x|$。
步骤 3：极限定义
对于任意的 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = 2\varepsilon$，则当 $0 < |x| < \delta$ 和 $0 < |y| < \delta$ 时，就有 $\dfrac {{x}^{2}y}{{x}^{2}+{y}^{2}}-0|\lt \varepsilon$。这是因为根据步骤 2 的不等式，$\dfrac {{x}^{2}|y|}{{x}^{2}+{y}^{2}}\leqslant \dfrac {1}{2}|x|$，而 $|x| < \delta = 2\varepsilon$，所以 $\dfrac {1}{2}|x| < \varepsilon$。