试应用 -8 定义证明:-|||-lim _(x,y))(0,0)dfrac ({x)^2y}({x)^2+(y)^2}=0.

考查要点：本题主要考查二元函数极限的ε-δ定义的应用，以及利用不等式估计分式表达式的绝对值。

解题核心思路：

1. 关键不等式：利用算术-几何均值不等式（$x^2 + y^2 \geq 2|x||y|$），将分母放大，从而将原分式表达式转化为与$|x|$相关的表达式。
2. 联系距离δ：通过$|x| \leq \sqrt{x^2 + y^2}$，将变量与点$(x,y)$到原点的距离$\sqrt{x^2 + y^2}$关联，最终找到合适的δ。

破题关键点：

• 放大分母：通过不等式$x^2 + y^2 \geq 2|x||y|$，将分母放大，简化分式。
• 变量替换：将$|x|$与$\sqrt{x^2 + y^2}$关联，从而通过选择δ控制表达式的上界。

步骤1：应用不等式放大分母
根据算术-几何均值不等式，对任意实数$x,y$，有：
$x^2 + y^2 \geq 2|x||y|.$
因此，分母$x^2 + y^2$可以被$2|x||y|$放大，从而原分式的绝对值满足：
$\left| \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} \right| = \frac{x^2 |y|}{x^2 + y^2} \leq \frac{x^2 |y|}{2|x||y|} = \frac{|x|}{2}.$

步骤2：关联变量与距离δ
当$(x,y)$趋近于$(0,0)$时，$\sqrt{x^2 + y^2} < \delta$，此时有：
$|x| \leq \sqrt{x^2 + y^2} < \delta.$
代入上一步的不等式，得：
$\left| \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} \right| \leq \frac{\delta}{2}.$

步骤3：选择δ使表达式小于ε
为了使$\frac{\delta}{2} < \varepsilon$，只需取$\delta = 2\varepsilon$。此时，当$\sqrt{x^2 + y^2} < \delta$时，原分式的绝对值必然小于$\varepsilon$。