利用基本不等式求最值.-|||-(1)求函数 =x+dfrac (4)(x)(xneq 0) 的值域.-|||-(2)求函数 =x+dfrac (4)(x), in (-infty ,-4] 的最大值.-|||-(3)求函数 =dfrac ({x)^2+10}(sqrt {{x)^2+9}} 的最小值.-|||-(4)求函数 =sin theta +dfrac (4)(sin theta ) theta in (0,dfrac (pi )(2)] 的最小值.-|||-(5)求函数 =x+dfrac (16)(x+2) in (-2,+infty ) )的最小值.-|||-(6)求函数 =x+dfrac (9x)(x-1)(xgt 1) 的最小值.-|||-(7)求函数 =dfrac ({x)^2+7x+10}(x+1)(xgt -1) 的最小值.-|||-(8)求函数 =dfrac ({x)^2}(x-12)(xgt 12) 的最小值.-|||-(9)求函数 =x(4-x)(0lt xlt 4) 的最大值-|||-(1 当 in [ 0,1] 时,求函数 y=x√(1-x^2)(x>12 的最大-|||-0)值.-|||-(11)当 in (0,dfrac (1)(3)) 时,求函数 =x(1-3x) 最大值.-|||-(12)设 gt 0 ,y=0, 且 +4y=12, 求xy的最大值.-|||-(1 设 gt 0, gt 0, 且 +2y=1, 求 dfrac (1)(x)+dfrac (1)(y) 的最小-|||-3)-|||-(14)设 gt 0 ,y>0, 且 dfrac (4)(x)+dfrac (1)(y)=2, 求 x+y 的最小值.-|||-(1-|||-5) 已知 gt 0 ,y>0, +y=1, 求 (1+dfrac (1)(x))(1+dfrac (1)(y))-|||-的最小值.-|||-(1 若a, in (0,+infty ), 且 =1+a+b, 分别求 a+b 和ab-|||-6)的最小值,
题目解答
答案
解析
基本不等式是求最值的重要工具，核心思路是构造满足条件的和与积的关系。解题时需注意：
- 变量范围：确保变量为正数，必要时通过代换调整；
- 定值条件：通过变形使和或积为定值；
- 等号成立：验证等号是否可取。
第（1）题
关键点：分正负讨论，应用均值不等式。
- 当$x>0$时，$y=x+\dfrac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}}=4$；
- 当$x<0$时，令$t=-x>0$，则$y=-t-\dfrac{4}{t} \leq -4$；
- 值域为$(-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$。
第（2）题
关键点：变量$x \leq -4$，令$t=-x \geq 4$，则$y=-t-\dfrac{4}{t}$。
- 对$t+\dfrac{4}{t}$求最小值，当$t=4$时最小值为$5$，故$y$的最大值为$-5$。
第（3）题
关键点：分子拆分为$x^2+9+1$，令$t=\sqrt{x^2+9} \geq 3$。
- $y=\dfrac{t^2+1}{t}=t+\dfrac{1}{t}$，在$t=3$时最小值为$\dfrac{10}{3}$。
第（4）题
关键点：令$t=\sin\theta \in (0,1]$，则$y=t+\dfrac{4}{t}$。
- 当$t=1$时最小值为$5$。
第（5）题
关键点：令$t=x+2>0$，则$y=t+\dfrac{16}{t}-2$。
- 当$t=4$时最小值为$6$。
第（6）题
关键点：变形为$y=(x-1)+\dfrac{9}{x-1}+10$，令$t=x-1>0$。
- 当$t=3$时最小值为$16$。
第（7）题
关键点：分子分解为$(x+1)(x+6)+4$，令$t=x+1>0$。
- $y=t+\dfrac{4}{t}+5$，当$t=2$时最小值为$9$。
第（8）题
关键点：令$t=x-12>0$，则$y=\dfrac{(t+12)^2}{t}$。
- 当$t=12$时最小值为$48$。
第（9）题
关键点：二次函数顶点在$x=2$，最大值为$4$。
第（10）题
关键点：令$x=\sin\theta$，则$y=\sin\theta\cos\theta$，最大值为$\dfrac{1}{2}$。
第（11）题
关键点：展开为$y=-3x^2+x$，顶点在$x=\dfrac{1}{6}$，最大值为$\dfrac{1}{6}$。
第（12）题
关键点：由$3x+4y=12$得$xy \leq 3$，最大值为$3$。
第（13）题
关键点：设$x=\dfrac{1}{1+2t}$，应用柯西不等式得最小值为$3+2\sqrt{2}$。
第（14）题
关键点：设$x=2t$，则$y=2t+\dfrac{1}{t}$，最小值为$\dfrac{9}{2}$。
第（15）题
关键点：展开后应用均值不等式，最小值为$\dfrac{1}{2}$。
第（16）题
关键点：变形为$(a-1)(b-1)=2$，最小值为$a+b=2+2\sqrt{2}$，$ab=3+2\sqrt{2}$。