214 已知曲线 y = y(x) 经过原点，且在原点的切线平行于直线 2x - y - 5 = 0，而 y(x) 满足微分方程 y'' - 6y' + 9y = e^3x，则此曲线的方程为 (A.) y = sin 2x. (B.) y = (1)/(2)x^2e^2x + sin 2x. (C.) y = (x)/(2)(x + 4)e^3x. (D.) y = (x^2cos x + sin 2x)e^3x.

考查要点：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的求解方法，包括齐次解、特解的构造，以及利用初始条件确定通解中的常数。

解题核心思路：

1. 求齐次方程的通解：通过特征方程法，确定齐次解的形式。
2. 求非齐次方程的特解：根据非齐次项的形式，结合齐次解的结构，选择合适的特解形式。
3. 组合通解并代入初始条件：将齐次解与特解相加得到通解，利用题目中的初始条件确定待定常数。

破题关键点：

• 特征方程的根：齐次方程对应的特征方程为 $r^2 - 6r + 9 = 0$，解得二重根 $r = 3$，因此齐次解为 $(C_1 + C_2 x)e^{3x}$。
• 特解形式的选择：非齐次项为 $e^{3x}$，与齐次解重复，需设特解为 $Ax^2 e^{3x}$。
• 初始条件的应用：利用曲线过原点（$y(0) = 0$）和切线斜率（$y'(0) = 2$）确定常数 $C_1$ 和 $C_2$。

1. 求齐次方程的通解

齐次方程为 $y'' - 6y' + 9y = 0$，特征方程为：
$r^2 - 6r + 9 = 0 \implies (r - 3)^2 = 0$
解得二重根 $r = 3$，因此齐次解为：
$y_h = (C_1 + C_2 x)e^{3x}$

2. 求非齐次方程的特解

非齐次项为 $e^{3x}$，与齐次解重复，故设特解形式为：
$y_p = Ax^2 e^{3x}$
计算一阶和二阶导数：
$\begin{aligned}y_p' &= A \left( 2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x} \right) = A e^{3x} (2x + 3x^2), \\y_p'' &= A \left( 2e^{3x} + 12x e^{3x} + 9x^2 e^{3x} \right) = A e^{3x} (2 + 12x + 9x^2).\end{aligned}$
将 $y_p$ 代入原方程：
$y_p'' - 6y_p' + 9y_p = A e^{3x} (2 + 12x + 9x^2 - 12x - 18x^2 + 9x^2) = 2A e^{3x}$
令其等于非齐次项 $e^{3x}$，得 $2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}$，故特解为：
$y_p = \frac{1}{2} x^2 e^{3x}$

3. 写出通解并代入初始条件

通解为齐次解与特解之和：
$y = (C_1 + C_2 x + \frac{1}{2} x^2) e^{3x}$
初始条件：

• 当 $x = 0$ 时，$y(0) = 0$，代入得：
  $(C_1 + 0 + 0) e^{0} = 0 \implies C_1 = 0$
• 计算 $y'$：
  $y' = (C_2 + x) e^{3x} + 3(C_2 x + \frac{1}{2} x^2) e^{3x} = \left[ (C_2 + x) + 3C_2 x + \frac{3}{2} x^2 \right] e^{3x}$
  当 $x = 0$ 时，$y'(0) = 2$，代入得：
  $(C_2 + 0) e^{0} = 2 \implies C_2 = 2$

4. 最终解

代入 $C_1 = 0$ 和 $C_2 = 2$，得：
$y = \left( 2x + \frac{1}{2} x^2 \right) e^{3x} = \frac{x}{2} (x + 4) e^{3x}$
对应选项 C。