【题目 ((x)^2+(y)^2)dx-xydy=0.

步骤 1：方程的变形
给定的微分方程是 $({x}^{2}+{y}^{2})dx-xydy=0$。为了简化方程，我们首先将方程两边同时除以 $x^2$，得到：
$$\left(1+\left(\frac{y}{x}\right)^2\right)dx-\frac{y}{x}dy=0$$
步骤 2：引入变量替换
令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux$，并且 $dy=udx+xdu$。将这些表达式代入方程中，得到：
$$\left(1+u^2\right)dx-u(udx+xdu)=0$$
步骤 3：分离变量
将方程进一步简化，得到：
$$\left(1+u^2\right)dx-u^2dx-uxdu=0$$
$$dx-uxdu=0$$
$$\frac{dx}{x}=\frac{udu}{1-u^2}$$
步骤 4：积分
对两边积分，得到：
$$\int\frac{dx}{x}=\int\frac{udu}{1-u^2}$$
$$\ln|x|=-\frac{1}{2}\ln|1-u^2|+C$$
$$\ln|x|=-\frac{1}{2}\ln|1-\frac{y^2}{x^2}|+C$$
步骤 5：求解
将 $u=\frac{y}{x}$ 代回，得到：
$$\ln|x|=-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x^2-y^2}{x^2}\right|+C$$
$$\ln|x|=-\frac{1}{2}\ln|x^2-y^2|+\frac{1}{2}\ln|x^2|+C$$
$$\ln|x|=-\frac{1}{2}\ln|x^2-y^2|+\ln|x|+C$$
$$0=-\frac{1}{2}\ln|x^2-y^2|+C$$
$$\ln|x^2-y^2|=2C$$
$$x^2-y^2=e^{2C}$$
$$y^2=x^2-e^{2C}$$
$$y=\pm\sqrt{x^2-e^{2C}}$$
$$y=\pm x\sqrt{1-e^{2C}/x^2}$$
$$y=\pm x\sqrt{c+2\ln|x|}$$