一十一、Ch4二次型正定性的判断4.23判别下列二次型的正定性:(1)=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)(2)=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)(1)二次型的矩阵=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)的各阶主子式依次为=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3).故二次型是负定的.(2)二次型的矩阵=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)的各阶主子式依次为=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3).故二次型是正定的.若干联系向量组构成矩阵线性组合=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)向量=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)能由向量组线性表示有解向量组=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)线性相关=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)有非零解=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)(=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)=向量个数=未知数个数)基础解系含=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)个解向量.部分定理定理2.1若线性无关,而线性相关.则可以由线性表示.定理2.2=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)(=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3))线性相关的充要条件是至少有一个向量是其余向量的线性组合.定理2.3线性相关的向量组添加向量后仍线性相关；线性无关的向量组的子向量组必线性无关；线性无关的向量组中的每个向量扩大同样的维数，得到的新向量组仍然线性无关。定理2.4m个行向量线性相关的充要条件是定理2.5矩阵A的秩等于r的充要条件是A中有r个行向量线性无关，但任意r+１个行向量（如果存在）都线性相关。定理2.8设有向量组T，如果(1)在T中有________个向量线性无关。(2)T中任意一个向量=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)都可以由向量组线性表示。则=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)是向量组T的一个最大无关组。引理2.1设向量组=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)可由向量组线性表示.如果,则线性相关.定理2.9齐次线性方程组（2.11），当其系数矩阵的秩=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)时，只有唯一的零解；当=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)时，有无穷多个解。定理2.11非齐次线性方程组（2.17）有解的充要条件是，他的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。定理2.12设是齐次线性方程组（2.11）的一个基础解系，是相应的非齐次线性方程组（2.17）的一个特解，则（2.17）通解为：基础解系含有n-r个解向量。定理3.1阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值。定理3.2设阶方阵A有互不相同的特征值，(λiE – A)χ= 0的基础解系为。则=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)；；……；线性无关。定理3.3设n阶方阵A= ( aij)的特征值为λ1,λ2,…，λn，则有（1）λ1+λ2+ … +λn= a11+ a22+ … + an n(4.9)(2)λ1λ2…λn= |A|(4.10)定理3.4设A为n阶方阵，(A) = a0I+ a1A+ amAm，若λ为A的特征值，则(λ) = a0+ a1λ+… + amλm是(A)的特征值。定理3.5若n阶方阵A与B相似，则它们具有相同的特征多项式和特征值。定理3.6n阶矩阵A与n阶对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。P73定理3.6=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)阶矩阵与阶对角阵相似的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.P74定理3.6推论3.2若阶矩阵有个相异的特征值,则与对角阵相似.P73性质3.2若=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)阶方阵=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)与=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)相似,则(1)=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3), (2)=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3).定理3.7n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)重特征值=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)对应着=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)个线性无关的特征向量（证明略）。定理4.1对任意n维向量χ和y ,恒有∣=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)∣=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)定理4.2若n维向量组=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)是正交向量组，则=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)线性无关。定理4.3设n维向量组线性无关，令=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)==-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)==-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)－=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)=－－=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)==-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)－=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)－－…－则得到的=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)是正交向量组，且与=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)等价。上述定理4.3从线性无关组=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)导出正交向量组的过程称为施密特(Schmidt)正交化过程。它不仅满足与等价，还满足:对任何，向量组与等价。定理4.4（1）方阵A是正交矩阵充分必要条件为A的列向量组是标准正交向量组。（2）方阵A是正交矩阵的充分必要条件为A的行向量组是标准正交向量组。定理4.5正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离。定理4.6实对称矩阵的特征值为实数。定理4.7设λ1、λ2是对称矩阵A的两个特征值，P1、P2是对应的特征向量。若λ1≠λ2，则P1与P2正交。定理4.8若λi是实对称矩阵A的k重特征值，则存在k个属于λi的线性无关的特征向量（证明略）。定理4.9设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使P-1AP ==其中λ1,λ2,…, λn是A的特征值。定理4.10任给可逆矩阵C，令B=CTAC，如果A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且R(B)=R(A)定理4.11任给二次型f(=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3))==-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)TA,总有正交变换=Py，使f化为标准形f=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2其中为A的所有特征值。了解二次型f=TA可通过可逆线性变换=Py化为标准形f=c1y12+c2y22+…+cryr2且r=R(A)(ci≠0,i=1,2,…,r; r称为f的惯性指标)（Sylvester定理）二次型f=TA通过可逆线性变换化成标准形后，系数为正的平方项的个数（称为二次型f或矩阵A的惯性指标）不变。定理4.12实二次型f==-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)TA=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)为正定的的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正。定理4.13若A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价：（1）=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)TA是正定二次型（或A是正定矩阵）；（2）A的正惯性指标为n。（3）存在可逆阵P，使得A=PTP（4）A的n个特征值全大于零。定理4.14（1）对称矩阵A正定的充分必要条件是，A的各阶主子式都为正，即=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)>0,=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)>0, …,>0（2）对称矩阵A负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。即=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)=-2({x)_(1)}^2-6({x)_(2)}^2-4({x)_(3)}^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)>0 ,(r=1,2, …,n)这个定理称为霍尔维茨定理，这里不予证明。