题目
f(x,y)=2xy-3x^2-2y^2在(0,0)处取得（），值为（） A 极大值，0 B 极小值，0 C 极大值，1 D 极小值，-1
$f(x,y)=2xy-3x^2-2y^2$在(0,0)处取得（），值为（）
A 极大值，0
B 极小值，0
C 极大值，1
D 极小值，-1
题目解答
答案
为了确定函数 $ f(x, y) = 2xy - 3x^2 - 2y^2 $ 在点 $(0,0)$ 处的性质，我们需要使用二元函数的极值理论。具体步骤如下：
1. **计算一阶偏导数：**
\[
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2y - 6x
\]
\[
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2x - 4y
\]
2. **找到 critical points:**
令 $ f_x = 0 $ 和 $ f_y = 0 $ 同时成立，解方程组：
\[
2y - 6x = 0 \quad \text{(1)}
\]
\[
2x - 4y = 0 \quad \text{(2)}
\]
从方程 (1) 解出 $ y $:
\[
y = 3x
\]
将 $ y = 3x $ 代入方程 (2):
\[
2x - 4(3x) = 0
\]
\[
2x - 12x = 0
\]
\[
-10x = 0
\]
\[
x = 0
\]
将 $ x = 0 $ 代回 $ y = 3x $:
\[
y = 3 \cdot 0 = 0
\]
因此，唯一 critical point 是 $(0,0)$。
3. **计算二阶偏导数：**
\[
f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -6
\]
\[
f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2
\]
\[
f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -4
\]
4. **使用 Hessian 矩阵判断极值：**
Hessian 矩阵 $ H $ 为：
\[
H = \begin{bmatrix}
f_{xx} & f_{xy} \\
f_{xy} & f_{yy}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-6 & 2 \\
2 & -4
\end{bmatrix}
\]
计算 $ H $ 的行列式 $ \det(H) $:
\[
\det(H) = (-6)(-4) - (2)(2) = 24 - 4 = 20
\]
由于 $ \det(H) > 0 $ 且 $ f_{xx} < 0 $，根据二元函数极值的判别法，函数 $ f(x, y) $ 在点 $(0,0)$ 处取得极大值。
5. **计算 $ f(0,0) $ 的值：**
\[
f(0,0) = 2 \cdot 0 \cdot 0 - 3 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0^2 = 0
\]
因此，函数 $ f(x, y) = 2xy - 3x^2 - 2y^2 $ 在点 $(0,0)$ 处取得极大值，值为 $0$。
答案是 $\boxed{A}$。
解析
步骤 1：计算一阶偏导数
计算函数 $f(x,y)=2xy-3x^2-2y^2$ 的一阶偏导数，得到：
\[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2y - 6x \]
\[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2x - 4y \]
步骤 2：找到 critical points
令 $f_x = 0$ 和 $f_y = 0$ 同时成立，解方程组：
\[ 2y - 6x = 0 \quad \text{(1)} \]
\[ 2x - 4y = 0 \quad \text{(2)} \]
从方程 (1) 解出 $y$:
\[ y = 3x \]
将 $y = 3x$ 代入方程 (2):
\[ 2x - 4(3x) = 0 \]
\[ 2x - 12x = 0 \]
\[ -10x = 0 \]
\[ x = 0 \]
将 $x = 0$ 代回 $y = 3x$:
\[ y = 3 \cdot 0 = 0 \]
因此，唯一 critical point 是 $(0,0)$。
步骤 3：计算二阶偏导数
计算函数 $f(x,y)$ 的二阶偏导数，得到：
\[ f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -6 \]
\[ f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2 \]
\[ f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -4 \]
步骤 4：使用 Hessian 矩阵判断极值
Hessian 矩阵 $H$ 为：
\[ H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} \]
计算 $H$ 的行列式 $\det(H)$:
\[ \det(H) = (-6)(-4) - (2)(2) = 24 - 4 = 20 \]
由于 $\det(H) > 0$ 且 $f_{xx} < 0$，根据二元函数极值的判别法，函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极大值。
步骤 5：计算 $f(0,0)$ 的值
计算 $f(0,0)$ 的值：
\[ f(0,0) = 2 \cdot 0 \cdot 0 - 3 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0^2 = 0 \]
因此，函数 $f(x,y) = 2xy - 3x^2 - 2y^2$ 在点 $(0,0)$ 处取得极大值，值为 $0$。
计算函数 $f(x,y)=2xy-3x^2-2y^2$ 的一阶偏导数，得到：
\[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2y - 6x \]
\[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2x - 4y \]
步骤 2：找到 critical points
令 $f_x = 0$ 和 $f_y = 0$ 同时成立，解方程组：
\[ 2y - 6x = 0 \quad \text{(1)} \]
\[ 2x - 4y = 0 \quad \text{(2)} \]
从方程 (1) 解出 $y$:
\[ y = 3x \]
将 $y = 3x$ 代入方程 (2):
\[ 2x - 4(3x) = 0 \]
\[ 2x - 12x = 0 \]
\[ -10x = 0 \]
\[ x = 0 \]
将 $x = 0$ 代回 $y = 3x$:
\[ y = 3 \cdot 0 = 0 \]
因此，唯一 critical point 是 $(0,0)$。
步骤 3：计算二阶偏导数
计算函数 $f(x,y)$ 的二阶偏导数，得到：
\[ f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -6 \]
\[ f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2 \]
\[ f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -4 \]
步骤 4：使用 Hessian 矩阵判断极值
Hessian 矩阵 $H$ 为：
\[ H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} \]
计算 $H$ 的行列式 $\det(H)$:
\[ \det(H) = (-6)(-4) - (2)(2) = 24 - 4 = 20 \]
由于 $\det(H) > 0$ 且 $f_{xx} < 0$，根据二元函数极值的判别法，函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极大值。
步骤 5：计算 $f(0,0)$ 的值
计算 $f(0,0)$ 的值：
\[ f(0,0) = 2 \cdot 0 \cdot 0 - 3 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0^2 = 0 \]
因此，函数 $f(x,y) = 2xy - 3x^2 - 2y^2$ 在点 $(0,0)$ 处取得极大值，值为 $0$。